Эллиптические функции Якоби

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного и вспомогательных тета-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение [math]\displaystyle{ \operatorname{\mathrm{sn}} }[/math] для [math]\displaystyle{ \sin }[/math]. Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сделано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

Введение

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Обозначение

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], или обычно, в терминах [math]\displaystyle{ u }[/math], данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра [math]\displaystyle{ m }[/math], или как эллиптический модуль [math]\displaystyle{ k }[/math], где [math]\displaystyle{ k^2=m }[/math], или в терминах модулярного угла [math]\displaystyle{ \mbox{æ} }[/math], где [math]\displaystyle{ m=\sin^2\mbox{æ} }[/math].

Определение как обратные к эллиптическим интегралам

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

[math]\displaystyle{ u=\int\limits_0^\varphi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}. }[/math]

Эллиптическая функция [math]\displaystyle{ \operatorname{sn} u }[/math] задаётся как

[math]\displaystyle{ \operatorname{sn} u = \sin \varphi }[/math]

и [math]\displaystyle{ \operatorname{cn} u }[/math] определяется

[math]\displaystyle{ \operatorname{cn} u = \cos \varphi, }[/math]

а

[math]\displaystyle{ \operatorname{dn} u = \sqrt {1-m\sin^2 \varphi}. }[/math]

Здесь угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] называется амплитудой. [math]\displaystyle{ \operatorname{dn} u = \Delta(u) }[/math] называется дельта амплитудой. Значение [math]\displaystyle{ m }[/math] является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне [math]\displaystyle{ 0\leqslant m \leqslant 1 }[/math], и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и параметра [math]\displaystyle{ m }[/math].

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда [math]\displaystyle{ \varphi=\pi/2 }[/math], то [math]\displaystyle{ u }[/math] равен четверти периода [math]\displaystyle{ K }[/math].

Определение в терминах тета-функций

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим [math]\displaystyle{ \vartheta(0;\;\tau) }[/math] как [math]\displaystyle{ \vartheta }[/math], и [math]\displaystyle{ \vartheta_{01}(0;\;\tau), \vartheta_{10}(0;\;\tau),\; \vartheta_{11}(0;\;\tau) }[/math] соответственно как [math]\displaystyle{ \vartheta_{01},\; \vartheta_{10},\; \vartheta_{11} }[/math] (тета константы) тогда эллиптический модуль [math]\displaystyle{ k }[/math] равен [math]\displaystyle{ k=\left(\frac{\vartheta_{10}}{\vartheta}\right)^2 }[/math]. Полагая [math]\displaystyle{ u = \pi \vartheta^2 z }[/math], получим

[math]\displaystyle{ \operatorname{sn}(u;\; k) = -\frac{\vartheta \vartheta_{11}(z;\;\tau)}{\vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\;\tau)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{cn}(u;\; k) = \frac{\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\;\tau)}{\vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\;\tau)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{dn}(u;\; k) = \frac{\vartheta_{01} \vartheta(z;\;\tau)}{\vartheta \vartheta_{01}(z;\;\tau)}. }[/math]

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля [math]\displaystyle{ k(\tau) }[/math], необходимо найти обратные к ним и выразить [math]\displaystyle{ \tau }[/math] в терминах [math]\displaystyle{ k }[/math]. Начнём с дополнительного модуля [math]\displaystyle{ k' = \sqrt{1-k^2} }[/math]. Как функция [math]\displaystyle{ \tau }[/math] запишем

[math]\displaystyle{ k'(\tau) = \left(\frac{\vartheta_{01}}{\vartheta}\right)^2. }[/math]

Введём обозначение

[math]\displaystyle{ \ell = \frac{1}{2} \frac{1-\sqrt{k'}}{1+\sqrt{k'}} = \frac{1}{2} \frac{\vartheta - \vartheta_{01}}{\vartheta + \vartheta_{01}}. }[/math]

Определим также ном [math]\displaystyle{ q }[/math] как [math]\displaystyle{ q = \exp (\pi i \tau) }[/math] и разложим [math]\displaystyle{ \ell }[/math] в ряд по степеням нома [math]\displaystyle{ q }[/math]. Получим

[math]\displaystyle{ \ell = \frac{q+q^9+q^{25}+ \ldots}{1+2q^4+2q^{16}+ \ldots}. }[/math]

Обращение ряда даёт

[math]\displaystyle{ q = \ell+2\ell^5+15\ell^9+150\ell^{13}+1707\ell^{17}+20910\ell^{21}+268616\ell^{25}+\ldots }[/math]

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть [math]\displaystyle{ \tau }[/math] больше или равна [math]\displaystyle{ \sqrt{3}/2 }[/math], мы можем сказать, что значение [math]\displaystyle{ q }[/math] меньше или равно [math]\displaystyle{ \exp(-\pi \sqrt{3}/2) }[/math]. Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для [math]\displaystyle{ q }[/math].

Другие функции

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

[math]\displaystyle{ \operatorname{ns}(u)=1/\operatorname{sn}(u), }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{nc}(u)=1/\operatorname{cn}(u), }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{nd}(u)=1/\operatorname{dn}(u). }[/math]

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

[math]\displaystyle{ \operatorname{sc}(u)=\operatorname{sn}(u)/\operatorname{cn(u)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{sd}(u)=\operatorname{sn}(u)/\operatorname{dn(u)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{dc}(u)=\operatorname{dn}(u)/\operatorname{cn(u)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{ds}(u)=\operatorname{dn}(u)/\operatorname{sn(u)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{cs}(u)=\operatorname{cn}(u)/\operatorname{sn(u)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{cd}(u)=\operatorname{cn}(u)/\operatorname{dn(u)}. }[/math]

Более кратко запишем

[math]\displaystyle{ \operatorname{pq}(u)=\frac{\operatorname{pr}(u)}{\operatorname{qr(u)}}, }[/math]

где все буквы [math]\displaystyle{ \operatorname{p} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{q} }[/math], и [math]\displaystyle{ \operatorname{r} }[/math] являются любыми буквами [math]\displaystyle{ \operatorname{s} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{c} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{d} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{n} }[/math] (следует помнить, что [math]\displaystyle{ \operatorname{ss} = \operatorname{cc} = \operatorname{dd} = \operatorname{nn} = 1 }[/math]).

Дополнительные теоремы

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

[math]\displaystyle{ \operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1. }[/math]

Видно, что ([math]\displaystyle{ \operatorname{cn} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{sn} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{dn} }[/math]) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби

[math]\displaystyle{ \operatorname{cn}(x+y) = \frac{\operatorname{cn}(x)\,\operatorname{cn}(y) - \operatorname{sn}(x)\,\operatorname{sn}(y)\,\operatorname{dn}(x)\,\operatorname{dn}(y)}{{1 - k^2 \,\operatorname{sn}^2 (x) \,\operatorname{sn}^2 (y)}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{sn}(x+y) = \frac{\operatorname{sn}(x)\,\operatorname{cn}(y)\,\operatorname{dn}(y) +\operatorname{sn}(y)\,\operatorname{cn}(x)\,\operatorname{dn}(x)}{{1 - k^2 \,\operatorname{sn}^2 (x)\, \operatorname{sn}^2 (y)}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{dn}(x+y) = \frac{\operatorname{dn}(x)\,\operatorname{dn}(y) - k^2 \,\operatorname{sn}(x)\,\operatorname{sn}(y)\,\operatorname{cn}(x)\,\operatorname{cn}(y)}{{1 - k^2 \,\operatorname{sn}^2 (x)\, \operatorname{sn}^2 (y)}}. }[/math]

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических

• Если [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math], то

[math]\displaystyle{ u = \int\limits_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}} = \operatorname{ln}\left(\frac{1}{\cos\varphi} - \operatorname{tg}\varphi\right). }[/math]

Отсюда

[math]\displaystyle{ \sin\varphi = \operatorname{sn}\,u = \frac{e^{2u}-1}{e^{2u}+1} = \operatorname{th}\,u. }[/math]

Отсюда

[math]\displaystyle{ \operatorname{cn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\,u} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,u} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \operatorname{dn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\,u} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,u}. }[/math]

Таким образом, при [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math] эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

• Если [math]\displaystyle{ m = 0 }[/math], то

[math]\displaystyle{ u = \int\limits_0^\varphi d\theta = \varphi. }[/math]

Отсюда

[math]\displaystyle{ \sin\varphi = \sin\,u = \operatorname{sn}\,u, }[/math]

а также

[math]\displaystyle{ \operatorname{cn}\,u = \cos\,u, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{dn}\,u = 1. }[/math]

Таким образом, при [math]\displaystyle{ m = 0 }[/math] эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функций

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

[math]\displaystyle{ -\operatorname{dn}^2(u)+m_1= -m\;\operatorname{cn}^2(u) = m\;\operatorname{sn}^2(u)-m, }[/math]

[math]\displaystyle{ -m_1\;\operatorname{nd}^2(u)+m_1= -mm_1\;\operatorname{sd}^2(u) = m\;\operatorname{cd}^2(u)-m, }[/math]

[math]\displaystyle{ m_1\;\operatorname{sc}^2(u)+m_1= m_1\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-m, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{cs}^2(u)+m_1=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-m, }[/math]

где [math]\displaystyle{ m+m_1=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m=k^2 }[/math].

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что [math]\displaystyle{ \operatorname{pq}^2 \cdot \operatorname{qp}^2 = 1 }[/math], а также [math]\displaystyle{ \operatorname{pq}=\operatorname{pr}/\operatorname{qr} }[/math], где [math]\displaystyle{ \operatorname{p} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{q} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{r} }[/math] — любые буквы [math]\displaystyle{ \operatorname{s} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{c} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{d} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{n} }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{ss} = \operatorname{cc} = \operatorname{dd} = \operatorname{nn} = 1 }[/math].

Ном

Пусть ном равен [math]\displaystyle{ q=\exp(-\pi K'/K) }[/math] и пусть аргумент — [math]\displaystyle{ v=\pi u /(2K) }[/math]. Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

[math]\displaystyle{ \operatorname{sn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}}\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}} \sin (2n+1)v, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{cn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}}\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}} \cos (2n+1)v, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{dn}(u)=\frac{\pi}{2K} + \frac{2\pi}{K}\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n}}{1+q^{2n}} \cos 2nv. }[/math]

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z;\; k) = \mathrm{cn}\,(z;\;k)\, \mathrm{dn}\,(z;\;k), }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z;\; k) = -\mathrm{sn}\,(z;\;k)\, \mathrm{dn}\,(z;\;k), }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z;\; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;\;k)\, \mathrm{cn}\,(z;\;k). }[/math]

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного [math]\displaystyle{ k }[/math] ([math]\displaystyle{ 0\lt k\lt 1 }[/math]) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

• [math]\displaystyle{ \mathrm{sn}\,(x;\;k) }[/math] является решением уравнения [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2); }[/math]

• [math]\displaystyle{ \mathrm{cn}\,(x;\;k) }[/math] является решением уравнения [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2); }[/math]

• [math]\displaystyle{ \mathrm{dn}\,(x;\;k) }[/math] является решением уравнения [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2). }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эллиптические функции (недоступная ссылка) — Процедуры для Matlab

Литература

• Бобылёв Д. К. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (англ.). — New York: Dover, 1972. See Chapter 16

• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций (неопр.). — М.: Наука, 1970.

• Ватсон Дж. Н., Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции (рус.). — М.: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010