Кривая Персея
[math]\displaystyle{ a=1, b=2, c=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ a=1, b=2, c=0{,}8 }[/math]
[math]\displaystyle{ a=1, b=2, c=1 }[/math]
Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор[1]) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов[2].
Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом[3]. Переоткрыты в XVII веке[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.
Уравнение кривой в декартовой системе координат
- [math]\displaystyle{ (r^2 - a^2 + c^2 + x^2 + y^2)^2 = 4r^2 (x^2 + c^2) }[/math],
в ней [math]\displaystyle{ a }[/math] — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом [math]\displaystyle{ r }[/math] образован тор. При [math]\displaystyle{ c = 0 }[/math] кривая состоит из двух окружностей радиуса [math]\displaystyle{ a }[/math] с центрами [math]\displaystyle{ (\pm r,0) }[/math]; при [math]\displaystyle{ c = r + a }[/math] кривая вырождается в точку — начало координат, если же [math]\displaystyle{ c \gt r + a }[/math] — то кривая состоит из пустого множества точек[3].
Если ввести новые параметры: [math]\displaystyle{ d=2(a^2+b^2-c^2) }[/math], [math]\displaystyle{ e=2(a^2-b^2-c^2) }[/math] и [math]\displaystyle{ f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) }[/math], то возникает другая форма уравнения[4]:
- [math]\displaystyle{ (x^2 + y^2)^2 = dx^2 + ey^2 + f }[/math].
Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую[5], симметричную относительно осей [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math].
Уравнение в полярных координатах:
- [math]\displaystyle{ (r^2-a^2+b^2+c^2)^2 = 4b^2(r^2\cos^2\theta+c^2) }[/math],
или[4]:
- [math]\displaystyle{ r^4 = r^2(d \cos^2\theta+e \sin^2\theta) + f }[/math].
Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.
См. также
Примечания
- ↑ Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».
- ↑ 2,0 2,1 Стиллвелл, 2004, с. 43.
- ↑ 3,0 3,1 Мактьютор, 1997.
- ↑ 4,0 4,1 Если система уравнений для [math]\displaystyle{ d }[/math], [math]\displaystyle{ e }[/math], [math]\displaystyle{ f }[/math] не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.
- ↑ Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Литература
- Стиллвелл Д. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 42—43. — 530 с.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Spiric Section (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Spiric Sections (недоступная ссылка). MacTutor History (1 января 1997). Дата обращения: 18 мая 2018. Архивировано 26 октября 2019 года.
- Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Perseus (англ.) — биография в архиве MacTutor.
