Эпициклоида

Эпицикло́ида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения. По свидетельству Лейбница, Оле Рёмер ранее 1676 года сделал важное в практическом отношении открытие, что эпициклоидические зубцы в зубчатом колесе производят наименьшее трение.

Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен [math]\displaystyle{ R }[/math], радиус катящейся по ней окружности равен [math]\displaystyle{ r }[/math], то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x = (R + r)\cos\varphi - r\cos(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \\ y = (R + r)\sin\varphi - r\sin(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \end{cases} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси [math]\displaystyle{ OX }[/math].

Можно ввести величину [math]\displaystyle{ \textstyle k=\frac{R}{r} }[/math], тогда уравнения предстанут в виде

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x = r (k+1) \left( \cos \varphi- \frac{\cos((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \\ y = r (k+1) \left( \sin \varphi- \frac{\sin((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \end{cases} }[/math]

Величина [math]\displaystyle{ k }[/math] определяет форму эпициклоиды. При [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] эпициклоида образует кардиоиду, а при [math]\displaystyle{ k=2 }[/math] — нефроиду. Если [math]\displaystyle{ k }[/math] — несократимая дробь вида [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] ([math]\displaystyle{ m,n \in \mathbb{N} }[/math]), то [math]\displaystyle{ m }[/math] — это количество каспов данной эпициклоиды, а [math]\displaystyle{ n }[/math] — количество полных вращений катящейся окружности. Если [math]\displaystyle{ k }[/math] иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
$[math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] (кардиоида)$

[math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] (кардиоида)
$[math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] (нефроида)$

[math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] (нефроида)
$[math]\displaystyle{ k = 3 }[/math]$

[math]\displaystyle{ k = 3 }[/math]
$[math]\displaystyle{ k = \frac{3}{4} }[/math]$

[math]\displaystyle{ k = \frac{3}{4} }[/math]
$[math]\displaystyle{ k = \frac{1}{3} }[/math]$

[math]\displaystyle{ k = \frac{1}{3} }[/math]
$[math]\displaystyle{ k = 0.5 = \frac{1}{2} }[/math]$

[math]\displaystyle{ k = 0.5 = \frac{1}{2} }[/math]
$[math]\displaystyle{ k = 2.1 = \frac{21}{10} }[/math]$

[math]\displaystyle{ k = 2.1 = \frac{21}{10} }[/math]
$[math]\displaystyle{ k = 3.8 = \frac{19}{5} }[/math]$

[math]\displaystyle{ k = 3.8 = \frac{19}{5} }[/math]
$[math]\displaystyle{ k = 5.5 = \frac{11}{2} }[/math]$

[math]\displaystyle{ k = 5.5 = \frac{11}{2} }[/math]
$[math]\displaystyle{ k = 7.2 = \frac{36}{5} }[/math]$

[math]\displaystyle{ k = 7.2 = \frac{36}{5} }[/math]

Получение

Эскиз для доказательства

Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] - искомая точка, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] - угол отклонения точки [math]\displaystyle{ P }[/math] от точки касания двух окружностей, [math]\displaystyle{ \theta }[/math] - угол отклонения между центрами данных окружностей.

Так как окружность катится без скольжения, то [math]\displaystyle{ \ell_R=\ell_r }[/math]

По определению длины дуги окружности:

[math]\displaystyle{ \ell_R= \theta R \and \ell_r=\alpha r }[/math]

Из данных двух утверждений выплывает, что

[math]\displaystyle{ \theta R=\alpha r }[/math]

Получаем соотношения для [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]:

[math]\displaystyle{ \alpha =\frac{R}{r} \theta }[/math]

Пусть центр неподвижной окружности [math]\displaystyle{ A }[/math], центр второй окружности [math]\displaystyle{ B }[/math]. Очевидно, что [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} }[/math]

Перепишем в координатах:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{(\left( R+r \right)\cos \theta ; \left( R+r \right)\sin \theta)}+\overrightarrow{(r\cos\left( \pi + \theta+\alpha \right) ; r\sin\left( \pi + \theta+\alpha \right))} = \overrightarrow{(\left( R+r \right)\cos \theta - r\cos\left( \theta+\alpha \right);\left( R+r \right)\sin \theta - r\sin\left( \theta+\alpha \right))} }[/math]

Следовательно позиция точки [math]\displaystyle{ p }[/math]:

[math]\displaystyle{ x=\left( R+r \right)\cos \theta - r\cos\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\cos \theta - r\cos\left( \frac{R+r}{r}\theta \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ y=\left( R+r \right)\sin \theta - r\sin\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\sin \theta - r\sin\left( \frac{R+r}{r}\theta \right) }[/math]

См. также