Параллельные прямые
Паралле́льные прямы́е (от др.-греч. παράλληλος буквально «идущий рядом; идущий вдоль другого») в планиметрии — непересекающиеся прямые. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
В евклидовой геометрии
В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными[2][3].
Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности[4].
Параллельность прямых [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] принято обозначать следующим образом: [math]\displaystyle{ m\parallel n. }[/math]
Свойства
- Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
- Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
- Соответственные углы равны (Рис.1).
- Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
- Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).
|
|
|
| Рис.1: Соответственные углы равны, [math]\displaystyle{ \alpha = \alpha_1 }[/math]. | Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, [math]\displaystyle{ \alpha = \gamma_1 }[/math]. | Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, [math]\displaystyle{ \alpha+\delta_1=180^\circ }[/math]. |
- Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
- Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.
Построение параллельных прямых
Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:
- Построение прямой [math]\displaystyle{ a }[/math], относительно которой нужно построить параллельную прямую.
- Построение прямой [math]\displaystyle{ b }[/math], перпендикулярной прямой [math]\displaystyle{ a }[/math] (см. построение перпендикуляра).
- Построение прямой [math]\displaystyle{ c }[/math], перпендикулярной прямой b, и не совпадающей с прямой [math]\displaystyle{ a }[/math] (аналогично построению прямой [math]\displaystyle{ b }[/math]).
В стереометрии
В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.
В геометрии Лобачевского
В геометрии Лобачевского в плоскости через точку [math]\displaystyle{ C }[/math] вне данной прямой [math]\displaystyle{ AB }[/math] проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих [math]\displaystyle{ AB }[/math]. Прямая [math]\displaystyle{ CE }[/math] называется равнобежной прямой [math]\displaystyle{ AB }[/math] в направлении от [math]\displaystyle{ A }[/math] к [math]\displaystyle{ B }[/math], если:
- точки [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ E }[/math] лежат по одну сторону от прямой [math]\displaystyle{ AC }[/math];
- прямая [math]\displaystyle{ CE }[/math] не пересекает прямую [math]\displaystyle{ AB }[/math], но всякий луч, проходящий внутри угла [math]\displaystyle{ ACE }[/math], пересекает луч [math]\displaystyle{ AB }[/math].
Аналогично определяется прямая, равнобежная [math]\displaystyle{ AB }[/math] в направлении от [math]\displaystyle{ B }[/math] к [math]\displaystyle{ A }[/math].
Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися[5].
Свойства
- Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
- Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.
- Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.
См. также
Примечания
- ↑ Параллельные прямые // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ Земляков А. Н. Аксиоматический подход к геометрии (тезисы) // Математическое образование. — 2001. — № 3(18). — С. 4-21.
- ↑ Адамар Ж. Элементарная геометрия. — М., 1948. — С. 52.
- ↑ Шиханович Ю. А. Введение в современную математику (Начальные понятия). — М.: Наука, 1965. — С. 259. — 376 с.
- ↑ Математический справочник (недоступная ссылка). Дата обращения: 8 июля 2016. Архивировано 23 сентября 2016 года.