Верзьера Аньези

Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек [math]\displaystyle{ M }[/math], для которых выполняется соотношение [math]\displaystyle{ \textstyle\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB} }[/math], где [math]\displaystyle{ OA }[/math] — диаметр окружности, [math]\displaystyle{ BC }[/math] — полухорда этой окружности, перпендикулярная [math]\displaystyle{ OA }[/math]. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

История

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch). Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

Уравнения

[math]\displaystyle{ O=(0,0) }[/math], [math]\displaystyle{ A=(0,a) }[/math]

• В прямоугольной системе координат:

[math]\displaystyle{ y=\frac{a^3}{a^2+x^2} }[/math]

Вывод

Координаты точки [math]\displaystyle{ M }[/math], лежащей на верзьере — это [math]\displaystyle{ x=BM }[/math], [math]\displaystyle{ y=OB }[/math]. [math]\displaystyle{ OA=a }[/math] и по определению строим пропорцию

[math]\displaystyle{ \textstyle\frac{x}{BC}=\frac{a}{y} }[/math]

Отсюда

[math]\displaystyle{ \textstyle BC=\frac{xy}{a} }[/math]

С другой стороны [math]\displaystyle{ BC }[/math] может быть найден из уравнения окружности:

[math]\displaystyle{ \textstyle \left (y-\frac{a}{2}\right )^2+x^2=\frac{a^2}{4} }[/math]

Нам известен [math]\displaystyle{ y=OB }[/math], значит выражаем [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \textstyle x^2=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2 }[/math]

Приравниваем оба выражения для [math]\displaystyle{ BC }[/math]:

[math]\displaystyle{ \textstyle\frac{x^2 y^2}{a^2}=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2 }[/math]

Возводим в квадрат, переносим и выносим [math]\displaystyle{ y^2 }[/math] за скобки:

[math]\displaystyle{ \textstyle\left (\frac{x^2}{a^2}+1\right )y^2=ay }[/math]

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

[math]\displaystyle{ \textstyle y=\frac{a^3}{a^2+x^2} }[/math]

Если [math]\displaystyle{ a }[/math] — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

[math]\displaystyle{ \textstyle y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2} }[/math]

• Параметрическое уравнение:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi \\y=a\cos^2\varphi \end{cases} }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — угол между [math]\displaystyle{ OA }[/math] и [math]\displaystyle{ OC }[/math]

Вывод

Координаты точки [math]\displaystyle{ M }[/math] однозначно определяются углом [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] между [math]\displaystyle{ OB }[/math] и [math]\displaystyle{ OC }[/math]. Если [math]\displaystyle{ OB=y }[/math], а [math]\displaystyle{ BM=x }[/math], то по определению верзьеры можно составить пропорцию

[math]\displaystyle{ \textstyle\frac{OA}{y}=\frac{x}{BC} }[/math]

[math]\displaystyle{ OA }[/math] по предположению равен [math]\displaystyle{ a }[/math]. Из треугольника [math]\displaystyle{ OBC }[/math]: [math]\displaystyle{ BC=y\,\operatorname{tg}\,\varphi }[/math], значит

[math]\displaystyle{ \textstyle\frac{a}{y}=\frac{x}{y\,\operatorname{tg}\,\varphi} }[/math]

отсюда [math]\displaystyle{ x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi }[/math]. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

[math]\displaystyle{ \textstyle y=\frac{a^3}{a^2+a^2\,\operatorname{tg}^2\,\varphi} }[/math]

[math]\displaystyle{ \textstyle y=\frac{a}{1+\,\operatorname{tg}^2\,\varphi} }[/math]

Используя тождество, получаем

[math]\displaystyle{ y=a\cos^2\varphi }[/math]

• В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

[math]\displaystyle{ \textstyle \rho\sin{\varphi}=\frac{a^3}{a^2+\rho^2\cos^{2}\varphi} }[/math]

[math]\displaystyle{ \textstyle \rho^3(\cos^2\varphi\sin\varphi)+\rho(a^2\sin\varphi)-a^3=0 }[/math]

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

• Верзьера — кривая третьего порядка.
• Диаметр [math]\displaystyle{ OA }[/math] единственная ось симметрии кривой.
• Кривая имеет один максимум — [math]\displaystyle{ A(0;a) }[/math] и две точки перегиба — [math]\displaystyle{ \textstyle P_{1,2}\left (\pm\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4}\right ) }[/math]
• В окрестности вершины [math]\displaystyle{ A }[/math] верзьера приближается к окружности диаметра [math]\displaystyle{ OA }[/math]. В точке [math]\displaystyle{ A }[/math] происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке [math]\displaystyle{ A }[/math]: [math]\displaystyle{ \textstyle R_A=\frac{a}{2} }[/math].
• Площадь под графиком [math]\displaystyle{ S=\pi a^2 }[/math]. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему [math]\displaystyle{ \textstyle\mathbb{R} }[/math].
• Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси [math]\displaystyle{ OX }[/math]) [math]\displaystyle{ \textstyle V=\frac{\pi^2 a^3}{2} }[/math].

Построение

Построение верзьеры

Строится окружность диаметра [math]\displaystyle{ a }[/math] и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Интересные факты

• Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.

См. также

• Кривая
• Распределение Коши

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

Ссылки

• И. М. Виноградов. Аньези локон // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (неопр.). Дата обращения: 13 января 2012.
• Анимация построения (англ.). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано 14 марта 2012 года.
• Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 14 марта 2012 года.
• Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010.
• XahLee.org (англ.). Дата обращения: 13 января 2012.
• Leslie Pacher. The mathematical “Witch” (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано 14 марта 2012 года.