Перейти к содержанию

Жезл (плоская кривая)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Кривая „жезл“

Жезл, литуус — плоская трансцендентная кривая, определяемая уравнением (в полярной системе координат):

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{a}{\sqrt{\varphi}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] - некоторая постоянная константа.

Представляет собой частный случай архимедовой спирали [math]\displaystyle{ \rho=\alpha\phi^{1/n} }[/math] при [math]\displaystyle{ n=-2 }[/math].

Вычисление кривизны спирали и угла наклона касательной совершаются по формулам:

[math]\displaystyle{ \kappa(\phi)=(8\phi^2-2)\biggl(\frac{\phi}{1+4\phi^2}\biggr)^{3/2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \tau(\phi)=\phi-\tan^{-1}(2\phi) }[/math][1]

Кривая стремится из бесконечности (где она асимптотически приближается к горизонтальной оси) к точке [math]\displaystyle{ (0;0) }[/math], закручиваясь вокруг неё по спирали против часовой стрелки. Размер спирали определяется коэффициентом [math]\displaystyle{ a }[/math]. Имеет одну точку перегиба — [math]\displaystyle{ \textstyle\left(\frac12;a\sqrt{2}\right) }[/math].

Кривая относится к алгебраическим спиралям.

История

Кривая была описана Роджером Котсом в сборнике работ под названием Гармонические Измерения (Harmonia Mensurarum) (1722), опубликованном 6 лет спустя после его смерти. Котс назвал её литуусом — из-за сходства с жезлом древнеримских авгуров.

Примечания

  1. Weisstein, Eric W. Lituus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

см. также

Спираль