Жезл (плоская кривая)
Жезл, литуус — плоская трансцендентная кривая, определяемая уравнением (в полярной системе координат):
[math]\displaystyle{ \rho = \frac{a}{\sqrt{\varphi}} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] - некоторая постоянная константа.
Представляет собой частный случай архимедовой спирали [math]\displaystyle{ \rho=\alpha\phi^{1/n} }[/math] при [math]\displaystyle{ n=-2 }[/math].
Вычисление кривизны спирали и угла наклона касательной совершаются по формулам:
[math]\displaystyle{ \kappa(\phi)=(8\phi^2-2)\biggl(\frac{\phi}{1+4\phi^2}\biggr)^{3/2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \tau(\phi)=\phi-\tan^{-1}(2\phi) }[/math][1]
Кривая стремится из бесконечности (где она асимптотически приближается к горизонтальной оси) к точке [math]\displaystyle{ (0;0) }[/math], закручиваясь вокруг неё по спирали против часовой стрелки. Размер спирали определяется коэффициентом [math]\displaystyle{ a }[/math]. Имеет одну точку перегиба — [math]\displaystyle{ \textstyle\left(\frac12;a\sqrt{2}\right) }[/math].
Кривая относится к алгебраическим спиралям.
История
Кривая была описана Роджером Котсом в сборнике работ под названием Гармонические Измерения (Harmonia Mensurarum) (1722), опубликованном 6 лет спустя после его смерти. Котс назвал её литуусом — из-за сходства с жезлом древнеримских авгуров.