Эвольвента

Эвольвенты окружности. Являются частью профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением

.

Эвольве́нта (от лат. evolvens «разворачивающийся») плоской линии [math]\displaystyle{ L }[/math] — это линия [math]\displaystyle{ L_* }[/math], по отношению к которой [math]\displaystyle{ L }[/math] является эволютой.

Иными словами — кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия [math]\displaystyle{ L }[/math] задана уравнением [math]\displaystyle{ \bar{r} = \bar{r}(s) }[/math] (где [math]\displaystyle{ s }[/math] — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид

[math]\displaystyle{ \bar{\psi} = \bar{r} + (\alpha - s)\dot{\bar{r}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

[math]\displaystyle{ X=x-\frac{x'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }} }[/math]

[math]\displaystyle{ Y=y-\frac{y'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }} }[/math]

Пример

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

[math]\displaystyle{ x = r (\cos(t)+t\sin(t)) }[/math]

[math]\displaystyle{ y = r (\sin(t)-t\cos(t)) }[/math]

где [math]\displaystyle{ t }[/math] — угол, a [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус

Применения

В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи и в спиральных вакуумных насосах.

См. также