Рациональная нормальная кривая

Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая степени n в n-мерном проективном пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb P^n. }[/math] Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

Определение

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения

[math]\displaystyle{ \nu:\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^n }[/math]

которое переводит точку с однородными координатами [math]\displaystyle{ [s:t] }[/math] в точку

[math]\displaystyle{ [s^n:s^{n-1}t:s^{n-2}t^2:\ldots:t^n]. }[/math]

В аффинной карте [math]\displaystyle{ x_0 = 1 }[/math] это отображение записывается более простым образом:

[math]\displaystyle{ \nu:x \mapsto (x,x^2, \ldots ,x^n). }[/math]

Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой [math]\displaystyle{ (x,x^2,\dots,x^n) }[/math] при помощи единственной бесконечно удалённой точки.

Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов

[math]\displaystyle{ F_{i,j}(x_0,\ldots,x_n) = x_ix_j - x_{i+1}x_{j-1}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ [x_0:\ldots:x_n] }[/math] — однородные координаты на [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^n }[/math]. Рассматривать все эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, [math]\displaystyle{ F_{i,i} }[/math] и [math]\displaystyle{ F_{1,n-1}. }[/math]

Альтернативная параметризация

Пусть [math]\displaystyle{ [a_i:b_i] }[/math] — [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] различных точек на [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^1. }[/math] Тогда многочлен

[math]\displaystyle{ G(s,t) = \Pi_{i=0}^n (a_is - b_it) }[/math]

является однородным многочленом степени [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] с различными корнями. Многочлены

[math]\displaystyle{ H_i(s,t) = \frac{G(s,t)} {(a_is-b_it)} }[/math]

образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение

[math]\displaystyle{ [s:t] \mapsto [H_0(s,t) : H_1(s,t) : \ldots : H_n (s,t) ] }[/math]

также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы [math]\displaystyle{ s^n,s^{n-1}t,s^{n-2}t^2,\ldots,t^n }[/math] являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.

Данное отображение отправляет нули многочлена [math]\displaystyle{ G(s,t) }[/math] в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена [math]\displaystyle{ G. }[/math]

Свойства

• Любые [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] точки на рациональной нормальной кривой в [math]\displaystyle{ \mathbb P^n }[/math] линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
• Для любых [math]\displaystyle{ n+3 }[/math] точек в [math]\displaystyle{ \mathbb P^n, }[/math] таких что любые [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в [math]\displaystyle{ [c_0 : c_1 : \ldots : c_n], [d_0 : d_1 : \ldots : d_n], }[/math] в качестве многочлена [math]\displaystyle{ G }[/math] выбрать многочлен, зануляющийся в точках [math]\displaystyle{ [a_i : b_1] = [c_i^{-1} : d_i^{-1}]. }[/math]
• Рациональная нормальная кривая в случае [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math] не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.

Литература

• Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.