Астроида

Астроида

Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math], катящейся по внутренней стороне окружности радиуса [math]\displaystyle{ R=4r }[/math]. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем [math]\displaystyle{ k=4 }[/math].

История

Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном Йозеф Иоганн фон Литров в 1838 г.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

[math]\displaystyle{ x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3} }[/math]

Параметрическое уравнение:

[math]\displaystyle{ x = R\cos^3 t; \quad y = R\sin^3 t }[/math]

Астроида также является алгебраической кривой 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

[math]\displaystyle{ (x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0 }[/math]

Свойства

Астроида как огибающая

Вытянутая астроида как эволюта эллипса

Эволюта астроиды

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до [math]\displaystyle{ t\le \pi/2 }[/math]

[math]\displaystyle{ l=\frac32R\sin^2t }[/math]

• Длина всей кривой [math]\displaystyle{ 6R }[/math].
• Радиус кривизны:

[math]\displaystyle{ r(t)=\frac32R\sin2t }[/math]

• Площадь, ограниченная кривой:

[math]\displaystyle{ S=\frac{3}{8} \pi R^2 }[/math]

• Объём тела вращения относительно любой координатной оси:

[math]\displaystyle{ V=\pi \int \limits_{-R}^{R}\left (R^{2/3} - x^{2/3}\right )^3 \, dx = \frac {32}{105}\,\pi R^3 }[/math]

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:

  [math]\displaystyle{ x = a\cos^3 t; \quad y = b\sin^3 t }[/math]

или в декартовых прямоугольных координатах

[math]\displaystyle{ y=b\bigg [1-\bigg (\frac xa \bigg )^{\frac 23} \bigg ]^{\frac 32} }[/math]

• Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от дифференциального бинома и равен

[math]\displaystyle{ \int b\bigg [1-\bigg (\frac xa \bigg )^{\frac 23} \bigg ]^{\frac 32}dx = \frac{1}{16}b \left ( \sqrt{1-\left (\frac{x}{a} \right )^ {\frac{2}{3}}} \left ( -3a \sqrt[3]{\frac{x}{a}} + x \left ( 14 -8\left ( \frac{x}{a}\right )^{\frac{2}{3}} \right ) \right ) + 3a \arcsin\left ( \sqrt[3]{\frac{x}{a}} \right ) \right ) + C }[/math]

Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

Литература

• Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.