Лемниската Бернулли
Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.
История
Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно[англ.], опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.
Уравнения
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется [math]\displaystyle{ 2c }[/math], расположены они на оси [math]\displaystyle{ OX }[/math], и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
- Параметрическое в прямоугольных координатах:
- [math]\displaystyle{ x = \frac{c\sqrt{2}\cos(t)}{1 + \sin^2(t)}; \qquad y = \frac{c\sqrt{2}\sin(t)\cos(t)}{1 + \sin^2(t)} }[/math]
- в прямоугольных координатах:
- [math]\displaystyle{ \textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2) }[/math]
- Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
- [math]\displaystyle{ \textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi. }[/math]

- Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
- [math]\displaystyle{ \begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases} }[/math], где [math]\displaystyle{ p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big) }[/math]
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] до [math]\displaystyle{ +\infty }[/math]. При этом, когда параметр стремится к [math]\displaystyle{ -\infty }[/math], точка кривой стремится к [math]\displaystyle{ (0;0) }[/math] из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.
- Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.
Свойства
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы [math]\displaystyle{ \textstyle\pm\frac{\pi}{4} }[/math];
3. Для любой точки [math]\displaystyle{ A }[/math] лемнискаты выполняется: [math]\displaystyle{ AP=PO }[/math], где [math]\displaystyle{ AP }[/math] — биссектриса [math]\displaystyle{ \angle F_1AF_2 }[/math];
4. [math]\displaystyle{ \textstyle\mu=2\varphi+\frac{\pi}{2} }[/math] для любой точки кривой;
Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при [math]\displaystyle{ a=c }[/math], синусоидальной спирали с индексом [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] и лемнискаты Бута при [math]\displaystyle{ c=0 }[/math], поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.
Свойства, верные для произвольных овалов Кассини
- Лемниската — кривая четвёртого порядка.
- Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
- Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
- [math]\displaystyle{ \begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases} }[/math]
- Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
- Лемнискату описывает окружность радиуса [math]\displaystyle{ a=c\sqrt{2} }[/math], поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.
Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей
- Касательные в двойной точке составляют с отрезком [math]\displaystyle{ F_1F_2 }[/math] углы [math]\displaystyle{ \textstyle\pm\frac{\pi}{4} }[/math].
- Угол [math]\displaystyle{ \mu }[/math], составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен [math]\displaystyle{ \textstyle 2\varphi+\frac{\pi}{2} }[/math].
- Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
- Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
- Радиус кривизны лемнискаты есть [math]\displaystyle{ \textstyle R=\frac{2c^2}{3\rho} }[/math]
Вывод |
---|
- Натуральное уравнение кривой имеет вид
- [math]\displaystyle{ S=3\int\frac{\mathrm{d}R}{\sqrt{\left(\frac{3}{c}R\right)^4-1}} }[/math]
- Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
- [math]\displaystyle{ \textstyle \rho^{\frac{2}{3}}=(c\sqrt{2})^{\frac{2}{3}}\cos\frac{2}{3}\varphi. }[/math]
- Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.
Собственные свойства

- Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
- Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
- Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол [math]\displaystyle{ 45^\circ }[/math] с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
- Площадь полярного сектора [math]\displaystyle{ \varphi\in[0,\alpha] }[/math], при [math]\displaystyle{ \textstyle 0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4} }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \textstyle S(\alpha)=\frac{c^2}{2}\sin2\alpha }[/math]
- В частности, площадь каждой петли [math]\displaystyle{ \textstyle 2S\left (\frac{\pi}{4}\right )=c^2 }[/math], то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю [math]\displaystyle{ c\sqrt{2} }[/math].
- Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
- Длина дуги лемнискаты между точками [math]\displaystyle{ \varphi_1=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi_2=\varphi }[/math] выражается эллиптическим интегралом I рода:
- [math]\displaystyle{ \textstyle L(\varphi)=c\int\limits_0^\varphi\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-2\sin^2\varphi}}=\frac{c}{\sqrt{2}}\int\limits_0^\theta\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{c}{\sqrt{2}}F\left(\theta,\frac{1}{\sqrt{2}}\right), }[/math] где [math]\displaystyle{ 2\sin^2\varphi=\sin^2\theta. }[/math]
- В частности, длина всей лемнискаты
- [math]\displaystyle{ \textstyle 4L\left(\frac{\pi}{4}\right)=2c\sqrt{2}\,K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 5{,}244 a \approx 7{,}416 c. }[/math]
Построения
При помощи секущих (способ Маклорена)
Строится окружность радиуса [math]\displaystyle{ \textstyle\frac{c}{\sqrt{2}} }[/math] с центром в одном из фокусов. Из середины [math]\displaystyle{ O }[/math] фокусного отрезка строится произвольная секущая [math]\displaystyle{ OPS }[/math] ([math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ S }[/math] — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки [math]\displaystyle{ OM_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ OM_2 }[/math], равные хорде [math]\displaystyle{ PS }[/math]. Точки [math]\displaystyle{ M_1 }[/math], [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] лежат на разных петлях лемнискаты.
Шарнирные методы
Вариант первый
На плоскости выбираются две точки — [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math]). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: [math]\displaystyle{ \textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB }[/math]. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
Вариант второй
В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ O }[/math] соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок [math]\displaystyle{ OC }[/math] соединяется не с концом центрального [math]\displaystyle{ BD }[/math], а с его серединой. Пропорции также другие: [math]\displaystyle{ \textstyle BC=CD=OC=\frac{AO}{\sqrt{2}},\;AB=AO }[/math].
-
Построение лемнискаты при помощи секущих
-
Шарнирный метод
-
Другой вариант шарнирного метода
При помощи сплайна NURBS
Синяя линия — контрольная ломаная сплайна. Зелёные кружки — контрольные точки сплайна. Размер кружков пропорционален весу контрольной точки. Зелёные числа рядом с контрольными точками — порядковые номера точек в контрольной ломаной.
Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:
№ | [math]\displaystyle{ \frac{x\sqrt{2}}{c} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{y\sqrt{2}}{c} }[/math] | [math]\displaystyle{ weight }[/math] |
---|---|---|---|
1 | 2 | 0 | 2 |
2 | 2 | 1 | 1 |
3 | 0 | 1 | 1 |
4 | 0 | −1 | 1 |
5 | −2 | −1 | 1 |
6 | −2 | 0 | 2 |
7 | −2 | 1 | 1 |
8 | 0 | 1 | 1 |
9 | 0 | −1 | 1 |
10 | 2 | −1 | 1 |
11 | 2 | 0 | 2 |
Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: [math]\displaystyle{ -1 \le p \le 1 }[/math].
Обобщения
- Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
- Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
- Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при [math]\displaystyle{ n=2 }[/math])
См. также
- Лемниската Бута
- Лемниската Жероно
- Плоская кривая
- Алгебраическая кривая
- Бесконечность
- Аттрактор Лоренца
Примечания
- ↑ Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.
- ↑ Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. Euler at 300: an appreciation. — P. 121—123.
Литература
- Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Популярные лекции по математике. — М.: Гостехиздат, 1952. — С. 23—25. Архивная копия от 14 сентября 2008 на Wayback Machine
- Савелов А. А. Плоские кривые / Под. ред. А. П. Нордена. — М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. — С. 155—162.
- Lockwood E. H. A book of curves. — Cambridge: Cambridge university press, 1961. — P. 110—117.
Ссылки
- Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010.
- Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.
- Фаньяно и длина дуги лемнискаты (итал.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.