Перейти к содержанию

Лемниската Бернулли

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Лемниската и её фокусы

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.

История

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно[англ.], опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется [math]\displaystyle{ 2c }[/math], расположены они на оси [math]\displaystyle{ OX }[/math], и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

[math]\displaystyle{ \textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2) }[/math]
Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
[math]\displaystyle{ \textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi. }[/math]
Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра
  • Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
[math]\displaystyle{ \begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases} }[/math], где [math]\displaystyle{ p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big) }[/math]

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] до [math]\displaystyle{ +\infty }[/math]. При этом, когда параметр стремится к [math]\displaystyle{ -\infty }[/math], точка кривой стремится к [math]\displaystyle{ (0;0) }[/math] из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

  • Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства

Некоторые свойства лемнискаты:
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы [math]\displaystyle{ \textstyle\pm\frac{\pi}{4} }[/math];
3. Для любой точки [math]\displaystyle{ A }[/math] лемнискаты выполняется: [math]\displaystyle{ AP=PO }[/math], где [math]\displaystyle{ AP }[/math] — биссектриса [math]\displaystyle{ \angle F_1AF_2 }[/math];
4. [math]\displaystyle{ \textstyle\mu=2\varphi+\frac{\pi}{2} }[/math] для любой точки кривой;

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при [math]\displaystyle{ a=c }[/math], синусоидальной спирали с индексом [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] и лемнискаты Бута при [math]\displaystyle{ c=0 }[/math], поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

  • Лемниската — кривая четвёртого порядка.
  • Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
  • Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
    [math]\displaystyle{ \begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases} }[/math]
  • Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
  • Лемнискату описывает окружность радиуса [math]\displaystyle{ a=c\sqrt{2} }[/math], поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

  • Касательные в двойной точке составляют с отрезком [math]\displaystyle{ F_1F_2 }[/math] углы [math]\displaystyle{ \textstyle\pm\frac{\pi}{4} }[/math].
  • Угол [math]\displaystyle{ \mu }[/math], составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен [math]\displaystyle{ \textstyle 2\varphi+\frac{\pi}{2} }[/math].
  • Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
  • Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
  • Радиус кривизны лемнискаты есть [math]\displaystyle{ \textstyle R=\frac{2c^2}{3\rho} }[/math]
Вывод

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:

[math]\displaystyle{ R=\frac{\rho}{(m+1)\cos m\varphi} }[/math] при [math]\displaystyle{ m=2, }[/math]

однако, легко вывести и по определению.




Уравнение лемнискаты в полярной системе:

[math]\displaystyle{ \rho^2=2c^2\cos{2\varphi} }[/math]

Формулы перехода к полярной системе координат:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x=\rho\cos{\varphi} \\ y=\rho\sin{\varphi}\end{cases} }[/math]

Выражаем [math]\displaystyle{ \textstyle\rho }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}\rho=\frac{x}{\cos{\varphi}} \\ \rho=\frac{y}{\sin{\varphi}}\end{cases} }[/math]

Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}\frac{x^2}{cos^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi} \\ \frac{y^2}{sin^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi}\end{cases}= \begin{cases}x=c\sqrt{2}\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}} \\ y=c\sqrt{2}\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}\end{cases} }[/math]

—- это параметрическое уравнение относительно [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]. Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно [math]\displaystyle{ \textstyle p }[/math], указанное выше в разделе Уравнения.

Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:

[math]\displaystyle{ R=\frac{\Big((x')^2+(y')^2\Big)^{3/2}}{|x'y''-x''y'|} }[/math]

Находим производные по [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]:

[math]\displaystyle{ x'=c\sqrt{2}\left ( -\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}-\cos{\varphi}\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\right )=-c\sqrt{2}\frac{\sin{3\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x''=-c\sqrt{2}\frac{3\cos{3\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}+\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\sin{3\varphi}}{\cos{2\varphi}}=\ldots=-c\sqrt{2}\frac{2\cos{\varphi}+\cos{5\varphi}}{(\cos{2\varphi})^{3/2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ y'=c\sqrt{2}\left ( -\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}-\sin{\varphi}\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\right )=c\sqrt{2}\frac{\cos{3\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ y''=c\sqrt{2}\frac{-3\sin{3\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}+\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\cos{3\varphi}}{\cos{2\varphi}}=\ldots=-c\sqrt{2}\frac{2\sin{\varphi}+\sin{5\varphi}}{(\cos{2\varphi})^{3/2}} }[/math]

Подставляем в формулу радиуса:

[math]\displaystyle{ R=\ldots=\frac{\left (\frac{2c^2}{cos{2\varphi}}\right )^{3/2}}{\frac{6c^2}{\cos{2\varphi}}}=\frac{c\sqrt{2}}{3\sqrt{\cos{2\varphi}}} }[/math]

Возвращаемся к уравнению лемнискаты:

[math]\displaystyle{ \rho^2=2c^2\cos{2\varphi}\,\,\Rightarrow\,\,\sqrt{\cos{2\varphi}}=\frac{\rho}{c\sqrt{2}} }[/math]

Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:

[math]\displaystyle{ R=\frac{2c^2}{3\rho} }[/math]

Собственные свойства

Таутохронность лемнискаты
  • Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
  • Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
  • Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол [math]\displaystyle{ 45^\circ }[/math] с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
  • Площадь полярного сектора [math]\displaystyle{ \varphi\in[0,\alpha] }[/math], при [math]\displaystyle{ \textstyle 0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4} }[/math]:
    [math]\displaystyle{ \textstyle S(\alpha)=\frac{c^2}{2}\sin2\alpha }[/math]
    • В частности, площадь каждой петли [math]\displaystyle{ \textstyle 2S\left (\frac{\pi}{4}\right )=c^2 }[/math], то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю [math]\displaystyle{ c\sqrt{2} }[/math].
  • Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
  • Длина дуги лемнискаты между точками [math]\displaystyle{ \varphi_1=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi_2=\varphi }[/math] выражается эллиптическим интегралом I рода:
    [math]\displaystyle{ \textstyle L(\varphi)=c\int\limits_0^\varphi\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-2\sin^2\varphi}}=\frac{c}{\sqrt{2}}\int\limits_0^\theta\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{c}{\sqrt{2}}F\left(\theta,\frac{1}{\sqrt{2}}\right), }[/math] где [math]\displaystyle{ 2\sin^2\varphi=\sin^2\theta. }[/math]
    • В частности, длина всей лемнискаты
      [math]\displaystyle{ \textstyle 4L\left(\frac{\pi}{4}\right)=2c\sqrt{2}\,K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 5{,}244 a \approx 7{,}416 c. }[/math]

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса [math]\displaystyle{ \textstyle\frac{c}{\sqrt{2}} }[/math] с центром в одном из фокусов. Из середины [math]\displaystyle{ O }[/math] фокусного отрезка строится произвольная секущая [math]\displaystyle{ OPS }[/math] ([math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ S }[/math] — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки [math]\displaystyle{ OM_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ OM_2 }[/math], равные хорде [math]\displaystyle{ PS }[/math]. Точки [math]\displaystyle{ M_1 }[/math], [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый

На плоскости выбираются две точки — [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math]). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: [math]\displaystyle{ \textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB }[/math]. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ O }[/math] соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок [math]\displaystyle{ OC }[/math] соединяется не с концом центрального [math]\displaystyle{ BD }[/math], а с его серединой. Пропорции также другие: [math]\displaystyle{ \textstyle BC=CD=OC=\frac{AO}{\sqrt{2}},\;AB=AO }[/math].

При помощи сплайна NURBS

Пример построения лемнискаты Бернулли с помощью сплайна NURBS.
Синяя линия — контрольная ломаная сплайна. Зелёные кружки — контрольные точки сплайна. Размер кружков пропорционален весу контрольной точки. Зелёные числа рядом с контрольными точками — порядковые номера точек в контрольной ломаной.

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

[math]\displaystyle{ \frac{x\sqrt{2}}{c} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{y\sqrt{2}}{c} }[/math] [math]\displaystyle{ weight }[/math]
1 2 0 2
2 2 1 1
3 0 1 1
4 0 −1 1
5 −2 −1 1
6 −2 0 2
7 −2 1 1
8 0 1 1
9 0 −1 1
10 2 −1 1
11 2 0 2

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: [math]\displaystyle{ -1 \le p \le 1 }[/math].

Обобщения

  • Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
  • Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
  • Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при [math]\displaystyle{ n=2 }[/math])

См. также

Примечания

  1. Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.
  2. Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. Euler at 300: an appreciation. — P. 121—123.

Литература

Ссылки