Инверсия кривой
Инверсия кривой — результат применения операции инверсии к заданной кривой C. По отношению к фиксированной окружности с центром O и радиусом k инверсия точки Q — это точка P, лежащая на луче OQ, и OP•OQ = k2. Инверсия кривой C — это множество всех точек P, являющихся инверсиями точек Q, принадлежащих кривой C. Точка O в этом построении называется центром инверсии, окружность называется окружностью инверсии, а k — радиусом инверсии.
Инверсия, применённая дважды, даст тождественное преобразование, так что инверсия, применённая к инверсии кривой по отношению той же окружности, даст первоначальную кривую. Точки самой окружности переходят в себя, так что окружность инверсии при операции не меняется.
Уравнения
Инверсией точки (x, y) по отношению единичной окружности является (X, Y), где:
- [math]\displaystyle{ X = \frac{x}{x^2+y^2},\ Y=\frac{y}{x^2+y^2} }[/math],
или, что эквивалентно:
- [math]\displaystyle{ x = \frac{X}{X^2+Y^2},\ y=\frac{Y}{X^2+Y^2} }[/math].
Так что инверсия кривой, определённой уравнением f(x, y) = 0, по отношению к единичной окружности задаётся уравнением:
- [math]\displaystyle{ f\left(\frac{X}{X^2+Y^2},\ \frac{Y}{X^2+Y^2}\right)=0 }[/math].
Из этого уравнения следует, что инверсия алгебраической кривой степени n по отношению к окружности даёт алгебраическую кривую степени максимум 2n.
Таким же образом, инверсией кривой, заданной параметрическими уравнениями:
- [math]\displaystyle{ x = x(t),\ y = y(t) }[/math],
по отношению к единичной окружности будет:
- [math]\displaystyle{ X=X(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2 + y(t)^2},\ Y=Y(t)=\frac{y(t)}{x(t)^2 + y(t)^2}. }[/math]
Отсюда следует, что круговая инверсия рациональной кривой является также рациональной кривой.
Обобщая, инверсией кривой, заданной уравнением f(x, y) = 0, по отношению к окружности с центром в (a, b) и радиусом k является
- [math]\displaystyle{ f\left(a+\frac{k^2(X-a)}{(X-a)^2+(Y-b)^2},\ b+\frac{k^2(Y-b)}{(X-a)^2+(Y-b)^2}\right)=0. }[/math]
Инверсией кривой, заданной параметрически:
- [math]\displaystyle{ x = x(t),\ y = y(t) }[/math],
по отношению к той же окружности будет:
- [math]\displaystyle{ X=X(t)=a+\frac{k^2(x(t)-a)}{(x(t)-a)^2 + (y(t)-b)^2},\ Y=Y(t)=b+\frac{k^2(y(t)-b)}{(x(t)-a)^2 + (y(t)-b)^2} }[/math].
В полярной системе координат уравнения проще, если окружностью инверсии является единичная окружность. Инверсией точки (r, θ) по отношению к единичной окружности является (R, Θ), где
- [math]\displaystyle{ R = \frac{1}{r},\ \Theta=\theta }[/math],
или, что эквивалентно:
- [math]\displaystyle{ r = \frac{1}{R},\ \theta=\Theta }[/math].
Таким образом, инверсия кривой f(r, θ) = 0 определяется уравнением f(1/R, Θ) = 0, а инверсией кривой r = g(θ) будет r = 1/g(θ).
Примеры
Применение преобразования, приведенного выше, к лемнискате Бернулли
- [math]\displaystyle{ (x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2) }[/math]
даст
- [math]\displaystyle{ a^2(u^2-v^2) = 1 }[/math]
— уравнение гиперболы. Поскольку инверсия является бирациональным преобразованием и гипербола является рациональной кривой, это показывает, что лемниската также является рациональной кривой, другими словами, кривая имеет род нуль. Если применить инверсию к кривой Ферма xn + yn = 1, где n нечётно, мы получим
- [math]\displaystyle{ (u^2+v^2)^n = u^n+v^n. }[/math]
Любая рациональная точка на кривой Ферма имеет соответствующую рациональную точку на этой кривой, что даёт эквивалентную формулировку великой теоремы Ферма.
Частные случаи
Для простоты в качестве окружности инверсии в примерах используется единичная окружность. Результат инверсии для других окружностей можно получить путём преобразования исходной кривой.
Прямые
Если прямая проходит через начало координат, её уравнение в полярных координатах будет θ = θ0, где θ0 постоянна. Уравнение не меняется при инверсии.
Уравнение в полярных координатах прямой, не проходящей через начало координат,
- [math]\displaystyle{ r\cos(\theta-\theta_0) = a }[/math]
и уравнением инверсии кривой будет
- [math]\displaystyle{ r = a\cos(\theta-\theta_0) }[/math]
которое задаёт окружность, проходящую через начало координат. Применение инверсии уже к этой окружности показывает, что инверсией окружности, проходящей через начало координат, будет прямая.
Окружности
В полярных координатах общее уравнением окружности, не проходящей через начало координат, будет
- [math]\displaystyle{ r^2 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + r_0^2 - a^2 = 0\quad(a,\ r \gt 0,\ a \ne r_0), }[/math]
где a — радиус и (r0, θ0) — полярные координаты центра. Уравнением инверсной кривой будет
- [math]\displaystyle{ 1 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + (r_0^2 - a^2)r^2 = 0, }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ r^2 - \frac{2r_0}{r_0^2 - a^2} r\cos(\theta-\theta_0) + \frac{1}{r_0^2 - a^2} = 0. }[/math]
Это уравнение окружности с радиусом
- [math]\displaystyle{ A = \frac{a}{|r_0^2 - a^2|} }[/math]
и центром, координаты которой
- [math]\displaystyle{ (R_0,\ \Theta_0) = \left(\frac{r_0}{r_0^2 - a^2},\ \theta_0\right). }[/math]
Заметим, что R0 может быть отрицательным.
Если исходная окружность пересекается с единичной окружностью, то центры этих двух окружностей и точка пересечения образует треугольник со сторонами 1, a, r0 и этот треугольник будет прямоугольным, если
- [math]\displaystyle{ r_0^2 = a^2 + 1. }[/math]
Но из уравнения выше следует, что исходная окружность совпадает с её инверсией только в случае, когда
- [math]\displaystyle{ r_0^2 - a^2 = 1. }[/math]
Таким образом, инверсия окружности совпадает с исходной окружностью тогда и только тогда, когда окружность пересекает единичную окружность под прямыми углами.
Суммируя и обобщая две секции:
- Инверсия прямой или окружность будет прямой или окружностью.
- Если исходная кривая является прямой, то её инверсия будет проходить через центр инверсии. Если исходная кривая проходит через центр инверсии, то инверсией будет прямая.
- Инвертная кривая будет совпадать с исходной в точности тогда, когда кривая пересекает единичную окружность под прямыми углами.
Параболы с центром инверсии в вершине
Уравнением параболы, если повернуть её так, что ось станет горизонтальной, будет x = y2. В полярных координатах это превращается в
- [math]\displaystyle{ r=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}. }[/math]
Уравнением инверсной кривой тогда будет
- [math]\displaystyle{ r=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \sin\theta \tan\theta }[/math],
и это циссоида Диокла.
Конические сечения с центром инверсии в фокусе
Уравнением в полярных координатах конического сечения с фокусом в начале координат будет, с точностью до подобия
- [math]\displaystyle{ r = \frac{1}{1 + e \cos \theta} }[/math],
где e — эксцентриситет. Инверсией этой кривой будет:
- [math]\displaystyle{ r = 1 + e \cos \theta }[/math],
и это — уравнение улитки Паскаля. Если e = 0, это окружность инверсии. Если 0 < e < 1, исходная кривая является эллипсом и её инверсия — это замкнутая кривая с изолированной точкой в начале координат. Если e = 1, исходная кривая является параболой и её инверсия является кардиоидой, имеющей касп в начале координат. Если e > 1, исходная кривая является гиперболой и её инверсия образует две петли с точкой пересечения в начале координат.
Эллипсы и гиперболы с центрами инверсии в вершинах
Общим уравнением эллипса или гиперболы является:
- [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math].
Преобразуя уравнение так, что начало координат станет вершиной:
- [math]\displaystyle{ \frac{(x-a)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math],
и после преобразования:
- [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{2a}\pm\frac{ay^2}{2b^2}=x }[/math]
или, заменив константы:
- [math]\displaystyle{ cx^2+dy^2=x }[/math].
Заметим, что парабола, рассмотренная выше, теперь попадает в эту схему, положив c = 0 и d = 1. Уравнением инверсной кривой будет:
- [math]\displaystyle{ \frac{cx^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{dy^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x}{x^2+y^2} }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ x(x^2+y^2) = cx^2+dy^2 }[/math].
Это уравнение описывает семейство кривых, называемых конхоидами Слюза. Это семейство включает, вдобавок к циссоиде Диокла, описанной выше, трисектрису Маклорена (d = −c/3) и правую строфоиду (d = −c).
Эллипсы и гиперболы с центрами инверсии в центре
Уравнение эллипса или гиперболы:
- [math]\displaystyle{ cx^2+dy^2=1 }[/math],
после операции инвертирования:
- [math]\displaystyle{ (x^2+y^2)^2=cx^2+dy^2 }[/math]
и это — лемниската Бута. Если d = −c, это лемниската Бернулли.
Конические сечения с произвольной точкой инверсии
Инверсия конического сечения (отличного от окружности) является циркулярной кривой третьего порядка, если центр инверсии лежит на кривой, и бициркулярной кривой четвёртого порядка в противном случае. Конические сечения являются рациональными, так что инвертированные кривые тоже рациональны. И наоборот, любая рациональная циркулярная кривая третьего порядка или рациональная бициркулярная кривая четвёртого порядка является инверсией конического сечения. Фактически любая из этих кривых должна иметь особенность, и если взять эту точку в качестве центра инверсии, инверсная кривая будет коническим сечением.[1][2]
Аналлагматические кривые
Аналлагматическая кривая — это кривая, переходящая в себя при инверсии. К ним относятся окружность, овал Кассини и трисектриса Маклорена.
См. также
Примечания
- ↑ «Cubique Circulaire Rationnelle» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables . Дата обращения: 9 ноября 2014. Архивировано 12 июня 2021 года.
- ↑ «Quartique Bicirculaire Rationnelle» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables . Дата обращения: 9 ноября 2014. Архивировано 12 июня 2021 года.
Ссылки
- J. W. Stubbs. On the application of a new Method to the Geometry of Curves and Curve Surfaces // Philosophical Magazine Series 3. — 1843. — Т. 23. — С. 338–347.
- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 43–46,121. — ISBN 0-486-60288-5.
- Weisstein, Eric W. Inverse Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Anallagmatic Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- «Inversion» на сайте Visual Dictionary Of Special Plane Curves
- «Inverse d’une Courbe par Rapport à un Point» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
- Определение на сайте MacTutor «Знаменитые кривые». Этот сайт также содержит примеры инверсных кривых и Java-апплет для просмотра инверсных кривых из списка.
Для улучшения этой статьи желательно: |