Бесконечное множество

Бесконе́чное мно́жество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

Множество, в котором для любого натурального числа [math]\displaystyle{ n }[/math] найдётся конечное подмножество из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов.
Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами («алеф», א — первая буква еврейского алфавита) и обозначаются [math]\displaystyle{ \aleph_\alpha, }[/math] где индекс [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют [math]\displaystyle{ \aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots\aleph_{\omega_{\omega_1}},\dots }[/math]

Примеры

Множества натуральных чисел [math]\displaystyle{ \N, }[/math] целых чисел [math]\displaystyle{ \Z, }[/math] рациональных чисел [math]\displaystyle{ \Q, }[/math] действительных чисел [math]\displaystyle{ \R, }[/math] комплексных чисел [math]\displaystyle{ \Complex }[/math] — являются бесконечными множествами.
Множество функций [math]\displaystyle{ \N \to \N }[/math] является бесконечным.
Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке [math]\displaystyle{ [0, 1]. }[/math]
Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

См. также