Ковёр Серпинского

Ковёр (квадрат) Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г.

Построение

Итеративный метод

6 итераций построения ковра Серпинского.

Квадрат [math]\displaystyle{ Q_0 }[/math] делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата [math]\displaystyle{ Q_0 }[/math] удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество [math]\displaystyle{ Q_1 }[/math], состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

[math]\displaystyle{ Q_0\supset Q_1\supset\dots\supset Q_n\supset\dots , }[/math]

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата [math]\displaystyle{ Q_0 }[/math].

2. Вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (0; 1) }[/math] разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.

3. Задаётся некоторая начальная точка [math]\displaystyle{ P_0 }[/math], лежащая внутри квадрата [math]\displaystyle{ Q_0 }[/math].

4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.

1. Генерируется случайное число [math]\displaystyle{ n \in (0; 1) }[/math].

2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.

3. Строится точка [math]\displaystyle{ P_i }[/math] с новыми координатами: [math]\displaystyle{ x_i = \frac{x_{i-1} + 2x_A}{3}; y_i = \frac{y_{i-1} + 2y_A}{3} }[/math],

где: [math]\displaystyle{ x_{i-1}, y_{i-1} }[/math] — координаты предыдущей точки [math]\displaystyle{ P_{i-1} }[/math]; [math]\displaystyle{ x_A, y_A }[/math] — координаты активной точки-аттрактора.

5. Возврат к началу цикла.

Свойства

• Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
• Ковер Серпинского замкнут.
• Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность [math]\displaystyle{ \ln8/\ln3\approx 1{,}89 }[/math]. В частности,
  • имеет нулевую меру Лебега.
• Если гиперболическая группа имеет одномерную границу и при этом не является полупрямым произведением, то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.

См. также

• Губка Менгера
• Треугольник Серпинского

Ссылки

• * Variations on the Theme of Tremas II  (англ.)
• Печенье Серпинского  (англ.)
• Ковёр Серпинского на сайте FractalWorld