Уравнение четвёртой степени
Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:
- [math]\displaystyle{ f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0. }[/math]
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).
Так как функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math], то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math], то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.
Теорема Виета для уравнения четвёртой степени
Корни уравнения четвёртой степени [math]\displaystyle{ x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4 }[/math] связаны с коэффициентами [math]\displaystyle{ a,\,b,\,c,\,d,\,e }[/math] следующим образом:
- [math]\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1\,x_2 + x_1\,x_3 + x_1\,x_4 + x_2\,x_3 + x_2\,x_4 + x_3\,x_4 = \frac{c}{a}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1\,x_2\,x_3+x_1\,x_2\,x_4 + x_1\,x_3\,x_4 + x_2\,x_3\,x_4 = -\frac{d}{a}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1\,x_2\,x_3\,x_4 = \frac{e}{a}. }[/math]
История
Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.
Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2].
То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.[3]
Решения
Решение через резольвенту
Решение уравнения четвёртой степени
- [math]\displaystyle{ x^4 + px^2 + qx + r = 0 }[/math]
сводится к решению кубической резольвенты
- [math]\displaystyle{ y^3 - 2py^2 + (p^2 - 4r)y + q^2 = 0 }[/math]
Корни резольвенты [math]\displaystyle{ y_1, y_2, y_3 }[/math] связаны с корнями исходного уравнения [math]\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4 }[/math] (которые и нужно найти) следующими соотношениями:
- [math]\displaystyle{ y_1 = (x_1 + x_2)(x_3 + x_4) }[/math]
- [math]\displaystyle{ y_2 = (x_1 + x_3)(x_2 + x_4) }[/math]
- [math]\displaystyle{ y_3 = (x_1 + x_4)(x_2 + x_3) }[/math]
Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между [math]\displaystyle{ y_i }[/math] и [math]\displaystyle{ x_i }[/math] вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при [math]\displaystyle{ x^3 }[/math])
- [math]\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4 = 0 }[/math]
дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.
Решение Декарта — Эйлера
В уравнении четвёртой степени
- [math]\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a \ne 0 }[/math]
сделаем подстановку [math]\displaystyle{ x = y - \frac{b}{4a} }[/math], получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):
- [math]\displaystyle{ y^4 + py^2 + qy + r = 0, }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ p = \frac{8ac - 3b^2}{8a^2}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ q = \frac{8a^2d - 4abc + b^3}{8a^3}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ r = \frac{256a^3e - 64a^2bd + 16ab^2c - 3b^4}{256a^4}. }[/math]
Корни [math]\displaystyle{ y_1,\,y_2,\,y_3,\,y_4 }[/math] такого уравнения равны одному из следующих выражений:
- [math]\displaystyle{ \pm \sqrt{z_1} }[/math] [math]\displaystyle{ \pm \sqrt{z_2} }[/math] [math]\displaystyle{ \pm \sqrt{z_3}, }[/math]
в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:
- [math]\displaystyle{ (\pm \sqrt{z_1})(\pm \sqrt{z_2})(\pm \sqrt{z_3}) = -\frac{q}{8}, }[/math]
причём [math]\displaystyle{ z_1,\,z_2,\,z_3 }[/math] — это корни кубического уравнения
- [math]\displaystyle{ z^3 + \frac{p}{2}z^2 + \frac{p^2 - 4r}{16}z - \frac{q^2}{64} = 0. }[/math]
Решение Феррари
Решение уравнения четвёртой степени вида [math]\displaystyle{ x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0 }[/math] может быть найдено по методу Феррари. Если [math]\displaystyle{ y_1 }[/math] — произвольный корень кубического уравнения
| [math]\displaystyle{ y^3-by^2+(ac-4d)y-a^2d+4bd-c^2=0, }[/math] | (2) |
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
- [math]\displaystyle{ x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d} }[/math]
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.
Биквадратное уравнение
Биквадратное уравнение[4] — уравнение четвёртой степени вида [math]\displaystyle{ ax^4+bx^2+c=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] — заданные комплексные числа и [math]\displaystyle{ a\not=0 }[/math]. Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой [math]\displaystyle{ y=x^2; y\geqslant 0 }[/math] оно сводится к квадратному уравнению относительно [math]\displaystyle{ y }[/math].
Четыре его корня находятся по формуле
- [math]\displaystyle{ x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}. }[/math]
Возвратные уравнения четвёртой степени
Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для [math]\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 }[/math] такого, что [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math], решение находится приведением к виду:
- [math]\displaystyle{ a\left(x^2 + {1 \over x^2}\right) + b\left(x + {1 \over x}\right) + c =0 }[/math],
После замены [math]\displaystyle{ t = {x + {1 \over x}} }[/math] ищется решение квадратного уравнения [math]\displaystyle{ at^2 + bt + c - 2a = 0 }[/math], а затем — квадратного уравнения [math]\displaystyle{ x^2 - tx + 1 = 0 }[/math].
Примечания
- ↑ Ferrari biography. Дата обращения: 26 сентября 2009. Архивировано 29 октября 2009 года.
- ↑ «Великое искусство» (Ars magna Архивная копия от 26 июня 2008 на Wayback Machine, 1545)
- ↑ Стюарт, Ян. Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
- ↑ В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида
Литература
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9.
- Лекция 4 в кн.: Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — М.: МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
Ссылки
- Решение Феррари (англ.). Дата обращения: 27 сентября 2009. Архивировано 19 февраля 2012 года.
- Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Biquadratic equation (англ.) на сайте PlanetMath.
