Параллельная кривая

Эллипс (красный), его эволюта (синий) и несколько параллельных кривых (зелёный). Обратите внимание, как изламываются параллельные кривые при встрече с эволютой.

Параллельная кривая или эквидистанта плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых.

Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии [math]\displaystyle{ a }[/math] от данной определяется уравнениями

[math]\displaystyle{ X=x+\frac{ay'}{\sqrt{x'^2+y'^2}} }[/math],

[math]\displaystyle{ Y=y-\frac{ax'}{\sqrt {x'^2+y'^2}} }[/math].

Или в векторной форме:

[math]\displaystyle{ \vec{r} = r(t) }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec{R} = \vec{r} + a \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \vec{r} + \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|} \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix} }[/math],

где матрица [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} }[/math] соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

Свойства

• Ориентированная кривизна [math]\displaystyle{ k_a }[/math] параллельной кривой [math]\displaystyle{ \gamma_a }[/math] выражается через кривизну [math]\displaystyle{ k }[/math] исходной кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] по формуле

  [math]\displaystyle{ k_a=\frac{k}{|1-a\cdot k|}. }[/math]

См. также

• Эволюта
• Эвольвента
• Эквидистанта

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Параллельные кривые (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эквидистанта и не только...

Литература

• Дингельдэй Ф. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. — СПб: Тип. А. С. Суворина, 1912. — с. 65—66, 221—222.