Лемниската Жероно
Лемниска́та Жероно́, или лемниската Гюйгенса — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению [math]\displaystyle{ \textstyle x^4=a^2(x^2-y^2) }[/math].
Получила свое название в честь французского математика Камиля-Кристофа Жероно, который описал её свойства в своем учебнике по геометрии, изданном в Париже в 1854 г.
Уравнение кривой в плоских координатах: [math]\displaystyle{ y=\pm \sqrt {\frac{a^2 x^2 - x^4}{a^2}} }[/math].
Лемниската Жероно является уникурсальной кривой, поэтому может быть описана в параметрическом виде через рациональные функции:
- [math]\displaystyle{ x =a \frac{t^2-1}{t^2+1},\ \ y = a\frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2} }[/math].
Также параметрический вид через тригонометрические функции:
- [math]\displaystyle{ x = a\cos(t),\ \ y = a\sin(t) \cos(t) = a\sin(2t)/2, }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ x = a \cos (\omega t),\ \ y =b \sin(\omega t)\cos(\omega t) =b \sin(2\omega t)/2 }[/math]
и является одной из фигур Лиссажу с удвоенной частотой колебаний по оси [math]\displaystyle{ y }[/math] относительно колебаний по оси [math]\displaystyle{ x }[/math] и нулевым сдвигом фаз.
См. также
Ссылки
- Словарь плоских кривых (англ.).
- Lemniscate de Gerono (фр.).
Литература
- Артоболевский И. И. Механизмы в современной технике. — Т. 2. — Изд. 7-е. — М.: Наука, 1979.
