Винтовая линия
Винтовая ли́ния — кривая в трёхмерном пространстве, расположенная на круглом цилиндре или круглом конусе и пересекающая образующие под одинаковым углом[1].
Цилиндрическая винтовая линия задаётся в прямоугольных координатах параметрическими уравнениями вида:
- [math]\displaystyle{ t\mapsto (a \cdot\cos t, a \cdot\sin t, b\cdot t) }[/math],
или в иной записи:
- [math]\displaystyle{ x(t) = a \cdot \cos t, }[/math]
- [math]\displaystyle{ y(t) = a \cdot \sin t, }[/math]
- [math]\displaystyle{ z(t) = b \cdot t }[/math],
где [math]\displaystyle{ a, b }[/math] — вещественные константы, не равные нулю.
Проекция цилиндрической винтовой линии на плоскость [math]\displaystyle{ x, y }[/math] представляет собой окружность.
Коническая винтовая линия (также спирально-винтовая линия[2]), определяется параметрическими уравнениями вида:
- [math]\displaystyle{ t\mapsto (a \cdot t \cdot \cos t, a \cdot t \cdot \sin t, b \cdot t) }[/math],
или:
- [math]\displaystyle{ x(t) = a \cdot t \cdot \cos t }[/math]
- [math]\displaystyle{ y(t) = a \cdot t \cdot \sin t }[/math]
- [math]\displaystyle{ z(t) = b \cdot t }[/math].
Проекция спирально-винтовой линии на плоскость [math]\displaystyle{ x, y }[/math] — спираль Архимеда.
Тело, имеющее форму винтовой линии, в разговорной речи часто называют спиралью, что не совсем корректно, так как в математике спиралями называют некоторый класс плоских кривых.
«Правые» и «левые» винтовые линии
Существуют зеркально-симметричные винтовые линии. «Правыми» винтовыми линиями принято называть линии, порождаемые по «правилу буравчика» или по «правилу правой руки». Это свойство винтовых линий называют хиральностью — «правая хиральность» и «левая хиральность». Пару зеркально-симметричных винтовых линий называют энантиоморфами. Если коэффициент [math]\displaystyle{ b }[/math] в параметрическом задании цилиндрической винтовой линии в правой тройке координат положителен, то такую линию называют «правой», если отрицателен — то «левой».
Подавляющее число резьб, применяемых в машиностроении, у крепёжных метизов имеют «правую» резьбу, или «правую» хиральность, то есть завинчивание производится по часовой стрелке. «Левые» резьбы используются очень редко — в специальных применениях, например для предотвращения самоотвинчивания шкивов с валов механизмов.
Элементы и свойства
Величину [math]\displaystyle{ 2 \cdot \pi \cdot b }[/math] называют шагом винтовой линии, геометрически это расстояние между соседними витками линии, отсчитанное вдоль образующей цилиндра.
Все винтовые линии являются линиями откоса, то есть касательные к ним образуют постоянный угол с некоторым постоянным направлением. Как и у всякой линии откоса, у цилиндрической винтовой линии кривизна [math]\displaystyle{ C }[/math] и кручение [math]\displaystyle{ S }[/math] постоянны в любой точке и описываются выражениями
- [math]\displaystyle{ C = \frac{|a|}{a^2+b^2} }[/math],
- [math]\displaystyle{ S = \frac{b}{a^2+b^2} }[/math].
Элемент длины
- [math]\displaystyle{ dL = dt\cdot \sqrt{a^2+b^2} }[/math].
Угол [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] между касательной к цилиндрической винтовой линии и касательной к окружности цилиндра в этой же точке называют геликальным углом, он равен:
- [math]\displaystyle{ \Phi = \arctan(\tfrac{b}{a}) }[/math].
Примеры тел в виде винтовой линии
Форму винтовой линии имеют, например, следующие молекулы:
- ДНК — двойная спираль (двойной винт),
- РНК,
- актиновая нить — двойная спираль,
- кальмодулин,
- молекулы, имеющие хиральность,
- аспарагиназа.
Формы винтовых линий имеют также многие детали машин и механизмов — пружины, часть винтовых свёрл, соединительные винты, болты, шпильки, винты (шнеки) мясорубок, экструдеров, винт Архимеда, шнеки снегоуборщиков и другие (реализуют винтовую поверхность — геликоид).
Примечания
- ↑ Винтовая линия — статья из Математической энциклопедии. Е. В. Шикин
- ↑ Винтовая линия — статья из Большой советской энциклопедии. Э. Г. Позняк.
