Кривая Ферма
Кривая Ферма — алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости, определяемая в однородных координатах (X:Y:Z) уравнением Ферма
- [math]\displaystyle{ X^n + Y^n = Z^n.\ }[/math]
Применительно к евклидовой плоскости уравнение имеет вид
- [math]\displaystyle{ x^n + y^n = 1.\ }[/math]
Целочисленное решение уравнения Ферма соответствует ненулевому рациональному решению евклидова уравнения и наоборот. Согласно теореме Ферма при n ≥ 3 не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма, поэтому кривая Ферма не имеет ненулевых рациональных точек.
Кривая Ферма несингулярна[англ.] и имеет род
- [math]\displaystyle{ (n - 1)(n - 2)/2.\ }[/math]
Таким образом, кривая Ферма имеет род 0 для n = 2 (и является коническим сечением) и род 1 для n = 3 (и является эллиптической кривой). Якобиево многообразие[англ.] кривой Ферма глубоко изучено. Оно изоморфно произведению простых абелевых многообразий с комплексным умножением[англ.].
Существует обобщение кривой Ферма на большее число измерений; в этом случае уравнения, аналогичные уравнению кривой Ферма, определяют проективное многообразие, называемое многообразием Ферма.
Ссылки
- Gross, Benedict H. & Rohrlich, David E. (1978), Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve, Inventiones Mathematicae Т. 44 (3): 201–224, doi:10.1007/BF01403161, <http://www.kryakin.com/files/Invent_mat_%282_8%29/44/44_01.pdf>. Проверено 12 января 2012. Архивная копия от 13 июля 2011 на Wayback Machine.
