Кривая дракона

Дракон Хартера — Хейтуэя

Кривая дракона — общее название для некоторых фрактальных кривых, которые могут быть аппроксимированы рекурсивными методами, такими как L-системы.

Дракон Хартера — Хейтуэя

Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера — Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA — Джоном Хейтуэем (John Heighway), Брюсом Бэнксом (Bruce Banks), и Вильямом Хартером (William Harter). Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American». Многие из свойств фрактала были описаны Чендлером Дэвисом (Chandler Davis) и Дональдом Кнутом.

Построение кривой дракона

Фрактал может быть записан как L-система с параметрами:

• угол равен 90° или pi/2
• начальная строка — FX
• правила преобразования строк:
  • X [math]\displaystyle{ \mapsto }[/math] X+YF+
  • Y [math]\displaystyle{ \mapsto }[/math] -FX-Y

Кроме того, фрактал может быть описан системой итерируемых функций на комплексной плоскости:

[math]\displaystyle{ f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2} }[/math].

Берём отрезок, сгибаем его пополам. Затем многократно повторяем итерацию. Если после этого снова разогнуть получившуюся (сложенную) линию так, чтобы все углы были равны 90°, мы получим драконову ломаную.

Примеры

Пример алгоритма на Python с помощью системы Линденмайера

 
import turtle

turtle.hideturtle()
turtle.tracer(0)
turtle.penup()
turtle.setpos(-100, -150)
turtle.pendown()

axiom, tempAx, logic, count = 'FX', '', {'X': 'X+YF+', 'Y': '−FX−Y'}, 15

for i in range(count):
    for j in axiom:
        tempAx += logic[j] if j in logic else j
    axiom, tempAx = tempAx, ''

for k in axiom:
    if k == 'F':
        turtle.forward(2.5)
    elif k == '+':
        turtle.right(90)
    elif k == '−':
        turtle.left(90)

turtle.update()
turtle.mainloop()

Ссылки

• Фракталы на сайте Алгоритмы
• Weisstein, Eric W. Кривая дракона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Кривая дракона и складывание бумаги