Конхоида Никомеда

Три конхоиды прямой с общим центром, красная [math]\displaystyle{ \ell=a/2 }[/math], зелёная [math]\displaystyle{ \ell=a }[/math] и синяя [math]\displaystyle{ \ell=2a }[/math]

Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, то есть кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь — уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину [math]\displaystyle{ \ell }[/math]; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Название происходит от др.-греч. κογχοειδής — «похожий на раковину».

Построение

Построение конхоиды Никомеда

Пусть на плоскости выбрана прямая m и точка O, отстоящая от прямой на расстояние a. Проведём через точку O луч, пересекающий прямую m в некоторой точке N; точки M₁ и M₂, лежащие на луче ON и отстоящие от точки N на заранее выбранное расстояние l, будут точками конхоиды. Меняя направление луча ON, можно построить всю конхоиду.

Уравнения

Декартовы координаты

Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением [math]\displaystyle{ y+a=0 }[/math] в декартовых прямоугольных координатах, то уравнение конхоиды имеет вид

[math]\displaystyle{ \ell^2y^2=(x^2+y^2)(y+a)^2 }[/math]

Начало координат является двойной точкой, характер которой зависит от величин [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ \ell }[/math]:

• при [math]\displaystyle{ \ell\lt a }[/math] ― изолированная точка
• при [math]\displaystyle{ \ell\gt a }[/math] ― узловая точка
• при [math]\displaystyle{ \ell=a }[/math] ― точка возврата

Полярные координаты

В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии [math]\displaystyle{ a }[/math] от прямой, которая смещается вдоль радиус-вектора на расстояние [math]\displaystyle{ l }[/math], уравнение конхоиды имеет вид

[math]\displaystyle{ r = \frac {a} {\cos \varphi}\pm \ell. }[/math]

История

Кривая названа по имени Никомеда (III—II века до н. э.), который применял её для решения задачи о трисекции угла и удвоения куба.

Литература

• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Савёлов А. А. Плоские кривые. Физматгиз, 1960.
• Конхоида // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 150-151. — 352 с.