Перейти к содержанию

Геодезическая

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Геодезическая линия на поверхности трёхосевого эллипсоида

Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» для искривлённых пространств.

Конкретное определение геодезической линии зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство, геодезические линии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, прямолинейные образующие и окружности, на сфере — дуги больших окружностей.

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Так, пробное тело в общей теории относительности движется по геодезической линии пространства-времени. По сути, временна́я эволюция всех лагранжевых систем может рассматриваться как движение по геодезической в специальном пространстве. Таким образом представима вся теория калибровочных полей.

Дифференциальная геометрия

Многообразия с аффинной связностью

В многообразиях с аффинной связностью [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] геодезическая — это кривая [math]\displaystyle{ \gamma(t) }[/math], удовлетворяющая уравнению

[math]\displaystyle{ \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0. }[/math]

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x^\lambda}{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu\nu} \frac{dx^\mu}{dt} \frac{dx^\nu }{dt} = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ x^\mu(t) }[/math] — координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.

Римановы и псевдоримановы многообразия

В римановых и псевдоримановых пространствах геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии:

[math]\displaystyle{ E(\gamma) = \int\limits_\gamma g\big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\big) \,dt, }[/math]

здесь [math]\displaystyle{ \gamma(t) }[/math] — кривая в пространстве, [math]\displaystyle{ g }[/math] — метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия.)

Это условие эквивалентно тому, что:

[math]\displaystyle{ \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0 }[/math]

вдоль всей кривой, где [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] обозначает связность Леви-Чивиты.

Метрическая геометрия

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

Согласно лемме Гаусса, для римановых многообразий это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.

Использование в физике

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.

Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.

См. также

Литература