Геодезическая
Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» для искривлённых пространств.
Конкретное определение геодезической линии зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство, геодезические линии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, прямолинейные образующие и окружности, на сфере — дуги больших окружностей.
Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Так, пробное тело в общей теории относительности движется по геодезической линии пространства-времени. По сути, временна́я эволюция всех лагранжевых систем может рассматриваться как движение по геодезической в специальном пространстве. Таким образом представима вся теория калибровочных полей.
Дифференциальная геометрия
Многообразия с аффинной связностью
В многообразиях с аффинной связностью [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] геодезическая — это кривая [math]\displaystyle{ \gamma(t) }[/math], удовлетворяющая уравнению
- [math]\displaystyle{ \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0. }[/math]
В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля:
- [math]\displaystyle{ \frac{d^2x^\lambda}{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu\nu} \frac{dx^\mu}{dt} \frac{dx^\nu }{dt} = 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ x^\mu(t) }[/math] — координаты кривой.
Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.
Римановы и псевдоримановы многообразия
В римановых и псевдоримановых пространствах геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии:
- [math]\displaystyle{ E(\gamma) = \int\limits_\gamma g\big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\big) \,dt, }[/math]
здесь [math]\displaystyle{ \gamma(t) }[/math] — кривая в пространстве, [math]\displaystyle{ g }[/math] — метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия.)
Это условие эквивалентно тому, что:
- [math]\displaystyle{ \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0 }[/math]
вдоль всей кривой, где [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] обозначает связность Леви-Чивиты.
Метрическая геометрия
В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).
Согласно лемме Гаусса, для римановых многообразий это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.
Использование в физике
Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.
Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.
См. также
Литература
- Граве Д. А. Геодезическая линия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — Любое издание.
- Мищенко А. С., Фоменко А. Т.. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
- Постников М. М.. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.
- А. В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс.