Губка Менгера

5 итераций

На 6-й итерации

Губка Менгера после четырёх итераций

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение

Итеративный метод

Куб [math]\displaystyle{ C_0 }[/math] с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба [math]\displaystyle{ C_0 }[/math] удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество [math]\displaystyle{ C_1 }[/math], состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество [math]\displaystyle{ C_2 }[/math], состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

[math]\displaystyle{ C_0\supset C_1\supset\dots\supset C_n\supset\dots }[/math],

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Игра в хаос

Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого игрой в хаос, который заключается в следующем:

1. Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
2. Задаётся некоторая начальная точка [math]\displaystyle{ P_0 }[/math], лежащая внутри куба.
3. Строится последовательность точек в следующем цикле:
   1. Случайно выбирается аттрактор [math]\displaystyle{ A }[/math] из 20 возможных с равной вероятностью.
   2. Строится точка [math]\displaystyle{ P_i }[/math] с новыми координатами: [math]\displaystyle{ x_i = \frac{x_{i-1} + 2x_A}{3}; y_i = \frac{y_{i-1} + 2y_A}{3}; z_i = \frac{z_{i-1} + 2z_A}{3} }[/math], где: [math]\displaystyle{ x_{i-1}, y_{i-1}, z_{i-1} }[/math] — координаты предыдущей точки [math]\displaystyle{ P_{i-1} }[/math]; [math]\displaystyle{ x_A, y_A, z_A }[/math] — координаты выбранного аттрактора.

Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.

Свойства

Губка Менгера в разрезе

• Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия которых равен 1/3.
• Ортогональные проекции губки Менгера представляют собой ковёр Серпинского.
• Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна [math]\displaystyle{ \ln 20 / \ln 3 \approx 2{,}73 }[/math] поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
• Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
  • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] любой точки [math]\displaystyle{ x \in M }[/math] множество [math]\displaystyle{ U \setminus x }[/math] связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
• Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть какова бы ни была кривая Урысона [math]\displaystyle{ C }[/math], в губке Менгера найдется подмножество [math]\displaystyle{ C' }[/math], гомеоморфное [math]\displaystyle{ C }[/math].
• Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней.
  • Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию: [math]\displaystyle{ \left ( \frac{20}{27} \right )^n }[/math]

• Сечение губки Менгера, ограниченной кубом со стороной 1 и центром в начале координат, плоскостью [math]\displaystyle{ x + y + z = 0 }[/math] содержит гексаграммы.
• Губка Менгера хорошо рассеивает ударные волны.

См. также

• Теория хаоса
• Система итерируемых функций

Ссылки

• Обобщённый алгоритм построения фракталов методом хаоса на ресурсе Wolfram
• Код для построения фракталов методом хаоса на языке AutoLISP