Квазитрохоида
Квазитрохоида — (от лат. quasi — нечто вроде, как будто, и греч. τροχοειδής — колесообразный) — плоская трансцендентная кривая, по форме напоминающая трохоиду, но отличающаяся тем, что центр вращения перемещается по произвольной траектории, радиус и частота вращения могут изменяться во времени по любому закону.
Квазитрохоиды имеют большое значение и широко используются в технике. Например, кривые, образуемые круговым движением и одновременно плоско-параллельным перемещением фрезы в станке с ЧПУ; движение летательного аппарата, перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси; траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле.
Уравнение обычной трохоиды на плоскости записывается как:
[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x(t)=x_0+v_xt+R\cos(\omega t+\theta_0)\\ y(t)=y_0+v_yt+R\sin(\omega t+\theta_0) \end{matrix}\right. }[/math] (3)
где: [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] — координаты начального положения центра вращения; [math]\displaystyle{ v_x, v_y }[/math] — проекции скорости центра вращения; [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — циклическая частота вращения; [math]\displaystyle{ \theta_0 }[/math] — начальная фаза вращения.
Уравнение квазитрохоиды на плоскости записывается как:
[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x(t)=x_c(t)+R(t)\cos(\theta(t))\\ y(t)=y_c(t)+R(t)\sin(\theta(t)) \end{matrix}\right. }[/math] (2)
где: [math]\displaystyle{ x_c(t), y_c(t) }[/math] — координаты поступательной составляющей (центра вращения); [math]\displaystyle{ R(t) }[/math] — радиус вращения; [math]\displaystyle{ \theta(t) }[/math] — фаза вращения; [math]\displaystyle{ d\theta/dt=\omega(t) }[/math] — угловая частота вращения; Нестационарные параметры [math]\displaystyle{ x_c(t), y_c(t), R(t), \theta(t) }[/math] сигнала (2) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.
Для упрощения используется комплексная форма записи параметрических уравнений (2). Полагая [math]\displaystyle{ z(t)=x(t)+iy(t) }[/math], можно записать:
[math]\displaystyle{ z(t)=z_c(t)+R(t)\exp \left( i\theta(t) \right) }[/math] (3)
Литература
- Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Изд. Физматлит, 1960
- Карамов С. В. Оценка параметров и прогноз движения вращающегося объекта, имеющего трохоидальную траекторию по видеоизображению // Труды XVI международной конференции по компьютерной графике и её приложениям «Графикон-2006». Новосибирск, 2006. С. 347—350.
- Карамов С. В. Алгоритм оценки параметров и экстраполяции двухмерного сигнала, имеющего гармоническую составляющую // 9-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и её применение» г. Москва, 2007 г. Т.2, -С 505—508.
