Площадь фигуры
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Об определении
Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.
Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:
- Положительность — площадь неотрицательна;
- Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
- Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
- Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.
При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть
- Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:
Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура [math]\displaystyle{ F }[/math] называется квадрируемой, если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует пара многоугольников [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math], такие что [math]\displaystyle{ P\subset F\subset Q }[/math] и [math]\displaystyle{ S(Q)-S(P)\lt \varepsilon }[/math], где [math]\displaystyle{ S(P) }[/math] обозначает площадь [math]\displaystyle{ P }[/math].
- Примеры квадрируемых фигур
- многоугольники;
- любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
- фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.
Связанные определения
- Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.
Комментарии
- Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
- То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).
Формулы
| Фигура | Формула | Комментарий |
|---|---|---|
| Правильный треугольник | [math]\displaystyle{ \tfrac{\sqrt{3}}4{\cdot}a^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина стороны треугольника. |
| Треугольник | [math]\displaystyle{ \sqrt{p{\cdot}(p-a){\cdot}(p-b){\cdot}(p-c)} }[/math] | Формула Герона. [math]\displaystyle{ p }[/math] — полупериметр, [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] — длины сторон треугольника. |
| Треугольник | [math]\displaystyle{ \tfrac12{\cdot} a{\cdot} b{\cdot} \sin\gamma }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — две стороны треугольника, а [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — угол между ними. |
| Треугольник | [math]\displaystyle{ \tfrac12{\cdot}b{\cdot}h }[/math] | [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math] — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне. |
| Квадрат | [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина стороны квадрата. |
| Прямоугольник | [math]\displaystyle{ a{\cdot}b }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — длины сторон прямоугольника. |
| Ромб | [math]\displaystyle{ a^2{\cdot}\sin \alpha, \tfrac12bc }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] — сторона ромба, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — внутренний угол, [math]\displaystyle{ b,c }[/math] — диагонали. |
| Параллелограмм | [math]\displaystyle{ b{\cdot}h }[/math] | [math]\displaystyle{ b }[/math] — длина одной из сторон параллелограмма, а [math]\displaystyle{ h }[/math] — высота, проведённая к этой стороне. |
| Трапеция | [math]\displaystyle{ \tfrac12{\cdot}(a+b){\cdot}h }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — длины параллельных сторон, а [math]\displaystyle{ h }[/math] — расстояние между ними (высота). |
| Четырёхугольник | [math]\displaystyle{ \tfrac12{\cdot}m{\cdot}n{\cdot}\sin\phi }[/math] | [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math] — длины диагоналей, и [math]\displaystyle{ \phi }[/math] — угол между ними. |
| Правильный шестиугольник | [math]\displaystyle{ \tfrac{3{\cdot}\sqrt{3}}2{\cdot}a^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина стороны шестиугольника. |
| Правильный восьмиугольник | [math]\displaystyle{ 2{\cdot}(1+\sqrt{2}){\cdot}a^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина стороны восьмиугольника. |
| Правильный многоугольник | [math]\displaystyle{ \frac{n{\cdot}a^2} {4 {\cdot} \tan(\pi/n)} }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина стороны многоугольника, а [math]\displaystyle{ n }[/math] — количество сторон многоугольника. |
| [math]\displaystyle{ \tfrac12{\cdot}a{\cdot} p }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а [math]\displaystyle{ p }[/math] — периметр многоугольника. | |
| Произвольный многоугольник | [math]\displaystyle{ {1 \over 2} \left | \sum_{i=0}^{n-1} \det\begin{pmatrix} x_i & x_{i+1} \\ y_i & y_{i+1} \end{pmatrix} \right | }[/math] | Формула площади Гаусса. [math]\displaystyle{ (x_i,y_i) }[/math] — координаты вершин [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника, [math]\displaystyle{ (x_n,y_n)=(x_0,y_0) }[/math] |
| Круг | [math]\displaystyle{ \pi {\cdot}r^2 }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{\pi{\cdot} d^2}{4} }[/math] | [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус окружности, а [math]\displaystyle{ d }[/math] — её диаметр. |
| Сектор круга | [math]\displaystyle{ \tfrac12 {\cdot}r^2{\cdot} \theta }[/math] | [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — соответственно радиус и угол сектора (в радианах). |
| Эллипс | [math]\displaystyle{ \pi{\cdot} a{\cdot}b }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — большая и малая полуоси эллипса. |
См. также
- Исчезновение клетки
- Мера Бореля
- Мера Жордана
- Мера Лебега
- Ориентированная площадь
- Площадь
- Площадь поверхности
- Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
- Треугольник о площадях треугольников
- Четырехугольник о площадях четырехугольников
Литература
- В. Болтянский, О понятиях площади и объёма. Архивная копия от 5 мая 2017 на Wayback Machine Квант, № 5, 1977
- Б. П. Гейдман, Площади многоугольников Архивная копия от 10 июня 2017 на Wayback Machine, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
- §§ 244—276 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
- Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
- В. А. Рохлин, Площадь и объём Архивная копия от 11 апреля 2021 на Wayback Machine, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.