Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — ограниченное множество в метрическом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math].

ε-покрытия

Пусть [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]. Не более чем счётный набор [math]\displaystyle{ \{\omega_i\}_{i\in I} }[/math] подмножеств пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] будем называть [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-покрытием множества [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], если выполнены следующие два свойства:

• [math]\displaystyle{ \Omega \subset \bigcup_{i\in I}\omega_i }[/math]
• для любого [math]\displaystyle{ i\in I }[/math]: [math]\displaystyle{ |\omega_i|\lt \varepsilon }[/math] (здесь и далее [math]\displaystyle{ |\omega| }[/math] означает диаметр множества [math]\displaystyle{ \omega }[/math]).

α-мера Хаусдорфа

Пусть [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ \Theta=\{\omega_i\}_{i\in I} }[/math] — покрытие множества [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: [math]\displaystyle{ F_\alpha(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} |\omega_i|^\alpha }[/math].

Обозначим через [math]\displaystyle{ M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) }[/math] «минимальный размер» [math]\displaystyle{ {\varepsilon} }[/math]-покрытия множества [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]: [math]\displaystyle{ M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) := \inf(F_\alpha(\Theta)) }[/math], где инфимум берётся по всем [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-покрытиям множества [math]\displaystyle{ \Omega }[/math].

Очевидно, что функция [math]\displaystyle{ M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) }[/math] (нестрого) возрастает при уменьшении [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], поскольку при уменьшении [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] мы только сжимаем множество возможных [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при [math]\displaystyle{ \varepsilon\rightarrow 0+ }[/math]:

[math]\displaystyle{ M_{\alpha}(\Omega)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0+}M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) }[/math].

Величина [math]\displaystyle{ M_{\alpha}(\Omega) }[/math] называется [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-мерой Хаусдорфа множества [math]\displaystyle{ \Omega }[/math].

Свойства α-меры Хаусдорфа

• [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на [math]\displaystyle{ X }[/math].
• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; [math]\displaystyle{ d }[/math]-мера Хаусдорфа множеств в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^d }[/math] совпадает с их [math]\displaystyle{ d }[/math]-мерным объёмом.
• [math]\displaystyle{ M_{\alpha}(\Omega) }[/math] убывает по [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]. Более того, для любого множества [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] существует критическое значение [math]\displaystyle{ \alpha_0 }[/math], такое, что:
  • [math]\displaystyle{ M_{\alpha}(\Omega)=+\infty }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \alpha\lt \alpha_0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ M_{\alpha}(\Omega)=0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \alpha\gt \alpha_0 }[/math]

Значение [math]\displaystyle{ M_{\alpha_0}(\Omega) }[/math] может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа [math]\displaystyle{ \dim_H\Omega }[/math] множества [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] называется число [math]\displaystyle{ \alpha_0 }[/math] из предыдущего пункта.

Примеры

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на [math]\displaystyle{ n }[/math] частей, подобных исходному множеству с коэффициентами [math]\displaystyle{ r_1,r_2,\dots,r_n }[/math], то его размерность [math]\displaystyle{ s }[/math] является решением уравнения [math]\displaystyle{ r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1 }[/math]. Например,

• размерность множества Кантора равна [math]\displaystyle{ \ln2/\ln3 }[/math] (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
• размерность треугольника Серпинского — [math]\displaystyle{ \ln3/\ln2 }[/math] (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
• размерность кривой дракона — [math]\displaystyle{ 2 }[/math] (разбивается на 2 части, коэффициент подобия [math]\displaystyle{ \sqrt {1/2} }[/math]).

Свойства

• Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
• Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
  • В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
• Для произвольных метрических пространств [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] выполняется соотношение

  [math]\displaystyle{ \dim_H(X\times Y)\ge \dim_H(X)+ \dim_H(Y). }[/math]

  • Для некоторых пар [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.

См. также

• Фрактал
• Размерность Минковского

Литература

• Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7.