Замкнутое множество

За́мкнутое мно́жество — подмножество [math]\displaystyle{ V }[/math] топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] с топологией [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math], дополнение к которому открыто: [math]\displaystyle{ X \setminus V \in \mathcal T }[/math].

Пустое множество [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок [math]\displaystyle{ [a,b] \subset \R }[/math] замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто. Множество [math]\displaystyle{ \Q \cap [0,1] }[/math] замкнуто в пространстве рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

Связанные определения

• Замыкание множества [math]\displaystyle{ U }[/math] топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] — минимальное по включению замкнутое множество [math]\displaystyle{ Z }[/math], содержащее [math]\displaystyle{ U }[/math]. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.

• Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве [math]\displaystyle{ F }[/math]  содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества [math]\displaystyle{ F }[/math].

История

Замкнутые множества были введены Георгом Кантором в 1884 году.

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — 388 с.