Полупрямое произведение

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math], и действию [math]\displaystyle{ \phi }[/math] группы [math]\displaystyle{ H }[/math] на группе [math]\displaystyle{ N }[/math] автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп [math]\displaystyle{ N }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] над [math]\displaystyle{ \phi }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ N\rtimes_\phi H }[/math].

Конструкция

Пусть задано действие группы [math]\displaystyle{ H }[/math] на пространстве группы [math]\displaystyle{ N }[/math] с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм [math]\displaystyle{ \phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N) }[/math] группы [math]\displaystyle{ H }[/math] в группу автоморфизмов группы [math]\displaystyle{ N }[/math]. Автоморфизм группы [math]\displaystyle{ N }[/math], соответствующий элементу [math]\displaystyle{ h }[/math] из [math]\displaystyle{ H }[/math] при гомоморфизме [math]\displaystyle{ \phi }[/math] обозначим [math]\displaystyle{ \phi_{h} }[/math]. За множество элементов полупрямого произведения [math]\displaystyle{ G = N\rtimes_\phi H }[/math] групп [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] над гомоморфизмом [math]\displaystyle{ \phi }[/math] — берётся прямое произведение [math]\displaystyle{ N\times H }[/math]. Бинарная операция [math]\displaystyle{ * }[/math] на [math]\displaystyle{ G }[/math] определяется по следующему правилу:

[math]\displaystyle{ (n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\cdot \phi_{h_1}(n_2), h_1\cdot h_2) }[/math] для любых [math]\displaystyle{ n_1,n_2 \in N }[/math], [math]\displaystyle{ h_1,h_2 \in H }[/math].

Свойства

  1. Группы [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] естественно вложены в [math]\displaystyle{ G }[/math], причём [math]\displaystyle{ N }[/math] — нормальная подгруппа в [math]\displaystyle{ G }[/math].
  2. Каждый элемент [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] однозначно разложим в произведение [math]\displaystyle{ g=nh }[/math], где [math]\displaystyle{ h }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] — элементы групп [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] соответственно. (Это свойство оправдывает название группы [math]\displaystyle{ G }[/math] как полупрямого произведения групп [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math].)
  3. Заданное действие [math]\displaystyle{ \phi }[/math] группы [math]\displaystyle{ H }[/math] на группе [math]\displaystyle{ N }[/math] совпадает с действием [math]\displaystyle{ H }[/math] на [math]\displaystyle{ N }[/math] сопряжениями (в группе [math]\displaystyle{ G }[/math]).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе [math]\displaystyle{ G }[/math] (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

Обоснование
  • Ассоциативность операции проверяется непосредственно. Используются соотношения
[math]\displaystyle{ \phi_{h_1}\circ\phi_{h_2}(n) = \phi_{h_1h_2}(n) }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi_{h}(n_1)\phi_{h}(n_2) = \phi_{h}(n_1n_2) }[/math].
  • Единицей группы G служит элемент [math]\displaystyle{ (1_N,1_H) }[/math], где [math]\displaystyle{ 1_N }[/math] и [math]\displaystyle{ 1_H }[/math] - единицы в группах N и H соответственно.
    (Используется равенство [math]\displaystyle{ \phi_{1_H}(n) = n }[/math].)
  • Элемент, обратный к [math]\displaystyle{ (n,h) }[/math], равен [math]\displaystyle{ (\,\phi_h^{-1}(n^{-1}),h^{-1}) }[/math].
    • Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство [math]\displaystyle{ \phi_h^{-1}(n^{-1}) = \phi_{h^{-1}}(n)^{-1} }[/math].
  • Отображения [math]\displaystyle{ n\mapsto(n,1_H) }[/math] и [math]\displaystyle{ h\mapsto(1_N,h) }[/math] гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
  • Отображение [math]\displaystyle{ (n,h)\mapsto h }[/math] есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
  • Равенство [math]\displaystyle{ (n,h) = (n,1)*(1,h) }[/math] даёт разложение произвольного элемента группы G в произведение элементов n и h из групп N и H соответственно. Из этого же равенства следует и единственность разложения.
  • Равенство [math]\displaystyle{ (\phi_h(n),1) = (1,h)(n,1)(1,h)^{-1} }[/math] показывает, что действие группы H на N, задаваемое гомоморфизмом [math]\displaystyle{ \phi }[/math] совпадает с действием H на N сопряжениями.
  • Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой [math]\displaystyle{ (n_1h_1)\cdot (n_2h_2) = n_1(h_1n_2h_1^{-1})\cdot (h_1h_2) }[/math].
    Из неё следует, что произведение в группе G с однозначным NH-разложением (при условии нормальности группы N) полностью определяется правилами умножения внутри подгрупп N и H и правилами сопряжения элементов из N элементами из H.

Пример

Группа вычетов по модулю 4 ([math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4 }[/math]) действует на [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math] (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

[math]\displaystyle{ \phi_h(n) = a^h n }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] — фиксированный ненулевой элемент [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math], [math]\displaystyle{ h\in\mathbb{Z}_4 }[/math], [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}_5 }[/math].

Соответственно, на множестве [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_4 }[/math] можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

  1. [math]\displaystyle{ (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + n_2, h_1 + h_2) }[/math], где [math]\displaystyle{ a=1 }[/math];
  2. [math]\displaystyle{ (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + (-1)^{h_1}n_2, h_1 + h_2) }[/math], где [math]\displaystyle{ {a= 4 \equiv -1}{\pmod 5} }[/math];
  3. [math]\displaystyle{ (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 2^{h_1}n_2, h_1 + h_2) }[/math];
  4. [math]\displaystyle{ (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 3^{h_1}n_2, h_1 + h_2) }[/math];

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

Литература

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Полупрямое_произведение&oldid=5838187