Размерность Лебега

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ \dim X }[/math].

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] размерность Лебега определяется как наименьшее целое число [math]\displaystyle{ n }[/math], обладающее тем свойством, что при любом [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует конечное открытое [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-покрытие [math]\displaystyle{ X }[/math], имеющее кратность [math]\displaystyle{ \leqslant n+1 }[/math];

При этом

• [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр [math]\displaystyle{ \lt \varepsilon }[/math], а
• кратностью конечного покрытия пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] называется наибольшее такое целое число [math]\displaystyle{ k }[/math], что существует точка пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], содержащаяся в [math]\displaystyle{ k }[/math] элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] размерностью Лебега называется наименьшее целое число [math]\displaystyle{ n }[/math] такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности [math]\displaystyle{ n+1 }[/math].

При этом покрытие [math]\displaystyle{ \mathcal P }[/math] называется вписанным в покрытие [math]\displaystyle{ \mathcal Q }[/math], если каждый элемент покрытия [math]\displaystyle{ \mathcal P }[/math] является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия [math]\displaystyle{ \mathcal Q }[/math].

Примеры

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

Свойства

• Неравенство

  [math]\displaystyle{ \dim (X \times Y) \leqslant \dim X + \dim Y. }[/math]

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math]:

• метризуемость,
• компактность,
• локальная компактность и паракомпактность.

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается; это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.

• Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на [math]\displaystyle{ X }[/math].
• Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет размерность [math]\displaystyle{ \dim X \leqslant n }[/math] тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия [math]\displaystyle{ \mathcal U = \{U_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal A} }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] существует вписанное покрытие [math]\displaystyle{ \mathcal V }[/math], которое состоит из [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] подсемейств [math]\displaystyle{ \mathcal V_1, \mathcal V_2, \dots, \mathcal V_{n+1} }[/math] таких, что каждое подсемейство [math]\displaystyle{ \mathcal V_i }[/math] состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного куба равна [math]\displaystyle{ n }[/math]. Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта [math]\displaystyle{ \dim X }[/math] (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

Литература

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973