Канторово множество

Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера заданный в письме от 21 июня 1882 года:

Пусть [math]\displaystyle{ P' }[/math] обозначает множество предельных точек множества [math]\displaystyle{ P }[/math]. Существует ли нигде неплотное множество [math]\displaystyle{ P }[/math], такое что пересечение

[math]\displaystyle{ P\cap P'\cap P''\cap\dots }[/math]

не пусто?

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка [math]\displaystyle{ C_0=[0,1] }[/math] удалим среднюю треть, то есть интервал [math]\displaystyle{ (1/3, 2/3) }[/math]. Оставшееся точечное множество обозначим через [math]\displaystyle{ C_1 }[/math]. Множество [math]\displaystyle{ C_1=[0,1/3]\cup[2/3,1] }[/math] состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств [math]\displaystyle{ C_0\supset C_1\supset C_2\supset\dots }[/math]. Пересечение

[math]\displaystyle{ C=\bigcap_{i=0}^\infty C_i }[/math]

называется канторовым множеством.

Множества [math]\displaystyle{ C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6 }[/math]

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в n-м разряде вырезаются на n-м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например [math]\displaystyle{ 0{,}1_3\in C }[/math], так как [math]\displaystyle{ 0{,}1_3=0{,}0(2)_3 }[/math].

В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

Как аттрактор

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] такие, что для любого [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ x_{n+1}=x_n/3 }[/math] или [math]\displaystyle{ x_{n+1}-1=(x_n-1)/3 }[/math].

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — [math]\displaystyle{ \{0;1\}^{\aleph_0} }[/math]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией).

Свойства

• Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
• Канторово множество континуально.
• Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
• Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность равную [math]\displaystyle{ \ln2/\ln3\approx 0{,}63 }[/math]. В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.
• Каждый нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
• Всякий метризуемый компакт — образ канторова множества при некотором непрерывном отображении.
• Канторово множество универсально для всех нульмерных пространств со счётной базой.

Вариации и обобщения

Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math] — [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math]-я степень двухточечного дискретного пространства [math]\displaystyle{ \{0;1\}^{\mathfrak{m}} }[/math]. Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math]. Каждый хаусдорфов компакт веса не больше [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] есть непрерывный образ подпространства канторова куба [math]\displaystyle{ \{0;1\}^{\mathfrak{m}} }[/math].

Диадический компакт — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Диадическое пространство — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

См. также

• Канторова лестница
• Функция Минковского
• Дисконтинуум

Литература

• Энгелькинг Р. . Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.