Линейная независимость

Линейно зависимые векторы на плоскости в R³

В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым. Множество векторов может считаться линейно независимым, если любой его вектор невозможно получить используя комбинацию других векторов множества. Если же, напротив, вектор множества можно получить комбинацией других векторов множества, тогда это множество является линейно зависимым.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] будет линейное пространство над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ M \subseteq V }[/math]. [math]\displaystyle{ M }[/math] называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество [math]\displaystyle{ M' = \{v_1, v_2, ..., v_n\} }[/math] называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть все её коэффициенты равны нулю:

[math]\displaystyle{ a_1v_1 + a_2v_2 + \ldots + a_nv_n = 0 \quad \Rightarrow \quad a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0. }[/math]

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним [math]\displaystyle{ a_i \neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ M' }[/math] называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается [math]\displaystyle{ 0 \in V }[/math], а во втором [math]\displaystyle{ 0 \in K }[/math].

Это определение означает, что если множество векторов является линейно зависимым, то можно построить нулевой вектор, используя комбинацию остальных векторов, и при этом эта комбинация не будет тривиальной линейной комбинацией, в которой все коэффициенты равны нулю. Возьмем векторное пространство [math]\displaystyle{ (\mathcal{V}, \mathcal{F}) }[/math] и множество векторов [math]\displaystyle{ S := \{ \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \dots, \boldsymbol{x}_n \} \in \mathcal{V} }[/math], множество [math]\displaystyle{ S }[/math] является линейно зависимым если и только если можно присвоить такие значения коэффициентов [math]\displaystyle{ c_1, \dots c_n }[/math] для которого верно, что [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n c_i\boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{0} }[/math] и хотя бы один из коэффицентов не равен нулю.

Пример

В [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] векторы [math]\displaystyle{ (1,0,0) }[/math], [math]\displaystyle{ (0,1,0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (0,0,1) }[/math] линейно независимы, так как уравнение

[math]\displaystyle{ a_1\cdot(1,0,0) + a_2\cdot(0,1,0) + a_3\cdot(0,0,1) = (0,0,0) \quad a_i \in \mathbb{R} }[/math]

имеет только одно решение - тривиальное решение.

Векторы [math]\displaystyle{ (1,0,0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (5,0,0) }[/math] являются линейно зависимыми, так как

[math]\displaystyle{ (1,0,0) \cdot 5 = (5,0,0), }[/math]

а, значит,

[math]\displaystyle{ -5 \cdot (1,0,0) + 1 \cdot (5,0,0) = (0,0,0). }[/math]

Матричное представление

Множество векторов [math]\displaystyle{ \{v_1, v_2, ..., v_n\} }[/math] является линейно независимым, если и только если векторное уравнение

[math]\displaystyle{ a_1v_1 + a_2v_2 + \ldots + a_nv_n = 0 }[/math] имеет только тривиальное решение, если и только если матричное уравнение [math]\displaystyle{ Ax = 0 }[/math] имеет только тривиальное решение, где [math]\displaystyle{ A }[/math] - матрица со столбцами [math]\displaystyle{ v_1, v_2, ..., v_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix}| & |& & | \\ v_1 & v_2 & \cdots& v_n\\ |& |& & |\end{pmatrix} }[/math]

Это выполняется если каждый столбец матрицы является ведущим. Так как "широкая матрица", матрица, у которой столбцов больше чем строк, не может иметь ведущий элемента в каждом столбце (число ведущих элементов самое большее равно числу строк), то векторы соответствующие ее столбцам являются линейно зависимыми. Поэтому векторы столбцов широкой матрицы являются всегда линейно зависимыми.

Решение матричного уравнения [math]\displaystyle{ Ax = 0 }[/math] позволяет определить являются ли столбцы [math]\displaystyle{ v_1, v_2, ..., v_n }[/math] линейно независимыми или линейно зависимыми.

Векторы параметрической векторной формы множества решений матричного уравнения [math]\displaystyle{ Ax = 0 }[/math] являются линейно независимыми.

Свойства

[math]\displaystyle{ 0 \in M \Rightarrow M }[/math] линейно зависимо.
[math]\displaystyle{ M }[/math] линейно независимо [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ M' }[/math] линейно независимо для всех [math]\displaystyle{ M' \subseteq M }[/math].
[math]\displaystyle{ M }[/math] линейно зависимо [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ M' }[/math] линейно зависимо для всех [math]\displaystyle{ M' \supseteq M }[/math].
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны, то есть один вектор является скалярным произведением другого вектора.
Любое множество, содержащее нулевой вектор является линейно зависимым. Нулевой вектор является кратным любого вектора, поэтому он коллинеарен с любым вектором.
Если подмножество множества [math]\displaystyle{ \{v_1, v_2, ..., v_n\} }[/math] является линейно зависимым, то и множество [math]\displaystyle{ \{v_1, v_2, ..., v_n\} }[/math] является линейно зависимым. Если множество [math]\displaystyle{ \{v_1, v_2, ..., v_n\} }[/math] является линейно зависимым, это не означает, что любой вектор [math]\displaystyle{ v_j }[/math] нажодится в линейной оболочке остальных векторов, но лишь, что, по крайней мере, какой то один вектор из множества находится в линейной оболочке остальных векторов.

Линейная независимость и линейная оболочка

Возьмем векторное пространство [math]\displaystyle{ (\mathcal{V}, \mathcal{F}) }[/math], и [math]\displaystyle{ S := \{ \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \dots, \boldsymbol{x}_n \} \in \mathcal{V} }[/math] - множество векторов. Векторы будут считаться независимыми, если каждый вектор лежит за пределами линейной оболочки остальных векторов. То есть, [math]\displaystyle{ S }[/math] - линейно независимые, если для каждого [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x_i} \in S }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x}_i \notin \text{Span}(S \setminus \{ \boldsymbol{x}_i \}) }[/math]. В противном случае, векторы будут считаться линейно зависимыми. То есть [math]\displaystyle{ S }[/math] - линейно зависимые если существует [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x_i} \in S }[/math], для которого верно [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x}_i \in \text{Span}(S \setminus \{ \boldsymbol{x}_i \}) }[/math].

Увеличение линейной оболочки линейно независимых векторов. Множество векторов [math]\displaystyle{ \{v_1, v_2, ..., v_k\} }[/math] является линейно независимым тогда и только тогда, когда для любого [math]\displaystyle{ j }[/math], вектор [math]\displaystyle{ v_j }[/math] не находится в линейной оболочке множества векторов [math]\displaystyle{ \{v_1, v_2, ..., v_{j-1}\} }[/math], то есть в [math]\displaystyle{ \text{Span}\{v_1, v_2, ..., v_{j-1}\} }[/math]. То есть, если мы создаем множество векторов добавляя один вектор за другим, и при добавлении каждого вектора линейная оболочка множества векторов увеличивается, то это множество векторов является линейно независимым.

Применение

Линейные системы уравнений

Линейная система [math]\displaystyle{ n }[/math] уравнений, где [math]\displaystyle{ n }[/math] — количество переменных, имеет однозначное решение тогда и только тогда, когда столбцы её основной матрицы являются линейно независимыми.

Ранг матриц

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов.

Геометрический смысл

Векторы [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).
Векторы [math]\displaystyle{ \vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c} }[/math] линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).

Базис

Базис линейного пространства является максимальным множеством линейно независимых векторов (максимальность понимается в том смысле, что при добавлении к этому множеству любого вектора этого пространства новое множество уже не будет линейно независимым).

См. также