Огибающая
Кривая [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] называется огиба́ющей семейства кривых [math]\displaystyle{ \gamma_\alpha }[/math], зависящих от параметра [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], если она в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства и каждым своим отрезком касается бесконечного множества этих кривых.
Определение
Пусть имеется семейство кривых [math]\displaystyle{ \gamma_\alpha }[/math], зависящих от параметра [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и задающихся уравнением: [math]\displaystyle{ F(\alpha, x, y) = 0 }[/math]. Тогда огибающая семейства кривых определяется как геометрическое множество точек [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math], для которых существует значение [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], для которого выполнено оба равенства:
- [math]\displaystyle{ F(\alpha, x, y) = {\partial F \over \partial \alpha}(\alpha, x, y) = 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \tfrac{\partial F}{\partial \alpha} }[/math] — частная производная функции [math]\displaystyle{ F }[/math] по параметру [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].
Примеры
- Для семейства окружностей одинакового радиуса с центрами на прямой огибающая состоит из двух параллельных прямых.
- Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
- Парабола является огибающей семейства срединных перпендикуляров для отрезков, соединяющих фиксированную точку (фокус параболы) и фиксированную прямую (директрису параболы).
- Огибающая семейства прямых Симсона данного треугольника, есть дельтоида — так называемая дельтоида Штейнера.
См. также
Литература
- Залгаллер В. А. Теория огибающих. — М.: Наука, 1975. — 104 с.