Гиперплоскость

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением [math]\displaystyle{ n_1x_1 + n_2x_2 = b }[/math]), для трёхмерного — плоскость, для четырёхмерного — трёхмерное пространство («трёхмерная плоскость») и т. д.

Уравнение гиперплоскости

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbf{n} \in \R^k }[/math] — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку [math]\displaystyle{ \mathbf{X} \in \R^k }[/math], имеет вид

[math]\displaystyle{ \langle\mathbf{n} ; \mathbf{x}\rangle = \langle\mathbf{n} ; \mathbf{X}\rangle }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \langle\bullet;\bullet\rangle }[/math] — скалярное произведение в пространстве [math]\displaystyle{ \R^k }[/math]. В частном случае уравнение принимает вид

[math]\displaystyle{ n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_k x_k = d = n_1 X_1 + n_2 X_2 + \ldots + n_k X_k }[/math]

Расстояние от точки до гиперплоскости

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbf{n} \in \R^k }[/math] — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки [math]\displaystyle{ \mathbf{r} \in \R^k }[/math] до этой гиперплоскости задаётся формулой

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{|\langle\mathbf{r}-\mathbf{R};\mathbf{n}\rangle|}{|\mathbf{n}|} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{R} }[/math] — произвольная точка гиперплоскости.

См. также

• Гиперповерхность