Торическое сечение
Торическое сечение — сечение тора произвольной плоскостью. Частные случаи сечений тора, кривые Персея, были исследованы ещё в античности. Общий случай изучен Жаном Дарбу XIX веке.[1]
Общая формула
Торическое сечение это плоская кривая четвёртого порядка[1] вида
- [math]\displaystyle{ \left( x^2 + y^2 \right)^2 + a x^2 + b y^2 + cx + dy + e = 0. }[/math]
Пять параметров уравнения определяются через два параметра тора — радиусы малой и большой окружностей r, R,[2] и через три параметра, задающих секущую плоскость.[3] Если плоскость не пересекает тор, то уравнение не имеет действительных решений.
Пример
Сечение тора с параметрами [math]\displaystyle{ R, r, (r\lt R) }[/math] бикасательной плоскостью задаётся формулой
[math]\displaystyle{ (x^2+y^2)^2-2(R^2+r^2)x^2-2(R^2-r^2)y^2+(R^2-r^2)^2=0. }[/math]
Формула может быть разложена в произведение формул для двух окружностей.
Перпендикулярные сечения
Сечения тора плоскостью параллельной его оси (перпендикулярной плоскости вращения окружности) называются спирическими сечениями или кривыми Персея. Они были исследованы древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э.[4] Сечение тора плоскостью перпендикулярной его оси является кольцом.
Окружности Вилларсо
Наиболее интересным косым сечением тора является сечение бикасательной плоскостью — окружности Вилларсо. Неочевидным образом это сечение представляет собой две пересекающиеся окружности. Точки их пересечения совпадают с точками касания секущей плоскости и тора.[5]
Примечания
- ↑ Перейти обратно: 1,0 1,1 Sym, Antoni (2009), Darboux's greatest love, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical Т. 42 (40): 404001, DOI 10.1088/1751-8113/42/40/404001.
- ↑ Тор можно разместить любым удобным образом в центре координат.
- ↑ Один параметр (поворот сечения на плоскости) можно убрать за счёт центральной симметрии тора.
- ↑ Brieskorn, Egbert & Knörrer, Horst (1986), Origin and generation of curves, Plane algebraic curves, Basel: Birkhäuser Verlag, с. 2–65, ISBN 3-7643-1769-8, DOI 10.1007/978-3-0348-5097-1.
- ↑ Schoenberg, I. J. (1985), A direct approach to the Villarceau circles of a torus, Simon Stevin Т. 59 (4): 365–372.