Окружности Вилларсо

Окружности Вилларсо на торе.

Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся окружности Вилларсо

Окружности Вилларсо — названные в честь французского астронома и математика Ивона Вилларсо (1813—1883) — пара окружностей, получаемых при сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора. В силу симметрии тора эта плоскость касается поверхности тора дважды, то есть является бикасательной.

Семейства параллелей, меридианов и два семейства окружностей Вилларсо вкупе составляют четыре попарно трансверсальных семейства окружностей на торе. Таким же свойством — иметь четыре попарно трансверсальных семейства окружностей — обладают конформные образы тора вращения, циклиды Дюпена.

Формула и доказательство существования

Пусть две пересекающиеся окружности радиуса [math]\displaystyle{ R, (r\lt R) }[/math] заданы формулами

[math]\displaystyle{ (x+r)^2+y^2-R^2=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-r)^2+y^2-R^2=0. }[/math]

Произведение этих двух уравнений можно привести к виду

[math]\displaystyle{ (x^2+y^2)^2-2(R^2+r^2)x^2-2(R^2-r^2)y^2+(R^2-r^2)^2=0. }[/math]

Это уравнение четвёртого порядка задаёт две пересекающиеся окружности и, очевидно, является формулой торического сечения. В точках пересечения окружностей пересекаются кривые, принадлежащие одновременно плоскости сечения и поверхности тора. Поэтому в этих точках секущая плоскость касается поверхности тора.

Литература

• Yvon Villarceau, Antoine Joseph François. Théorème sur le tore (фр.) // Nouvelles Annales de Mathématiques : magazine. — Paris: Gauthier-Villars, 1848. — Vol. 7 Série 1. — P. 345—347.
• Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry (неопр.). — 2/e. — Wiley, 1969. — С. 132—133. — ISBN 978-0-471-50458-0.

См. также

• Круги Эйлера
• Vesica piscis