Преобразование Мёбиуса

Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная)

Преобразова́ние Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства [math]\displaystyle{ \widehat{\R^n} = \R^n \cup \{\infty\} }[/math], представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей. ^[1].

В англоязычной литературе термин преобразование Мёбиуса часто определяют только для расширенной комплексной плоскости [math]\displaystyle{ \widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \} }[/math] как преобразование [math]\displaystyle{ f:\widehat{\mathbb{C}} \to \widehat{\mathbb{C}} }[/math], задающееся при помощи дробно-линейной функции:

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}, & x \neq \infty \\ \displaystyle \frac{a}{c}, & x = \infty \end{cases} \quad a,b,c,d \in \mathbb{C}, \quad \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0 }[/math]

Это определение может рассматриваться как частный случай общего для [math]\displaystyle{ n=2 }[/math], поскольку если расширенную комплекную плоскость [math]\displaystyle{ \widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \} }[/math] представить себе как [math]\displaystyle{ \widehat{\R^2} = \R^2 \cup \{\infty\} }[/math], то определения эквивалентны. В русскоязычной литературе для дробно-линейных функций комплексных чисел используют термин дробно-линейное преобразование.

Для случая [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

Проективно расширенная числовая прямая

В случае [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] пространство [math]\displaystyle{ \R \cup \{\infty\} }[/math] представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}, & x \neq \infty \\ \displaystyle \frac{a}{c}, & x = \infty \end{cases} \quad a,b,c,d \in \mathbb{R}, \quad \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0 }[/math]

Расширенная комплексная плоскость

В случае [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] пространство [math]\displaystyle{ \R^2 \cup \{\infty\} }[/math] можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении преобразование Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}, & x \neq \infty \\ \displaystyle \frac{a}{c}, & x = \infty \end{cases} \quad a,b,c,d \in \mathbb{C}, \quad \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0 }[/math]

В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности. Его можно рассматривать либо точечное преобразование, либо как преобразование обобщённых окружностей^[2]:

как точечное преобразование преобразование Мёбиуса — преобразование расширенной евклидовой плоскости такое, что окружность или прямая переходят в окружность или прямую. Имеем точечную аналлагматическую геометрию;
как неточечное преобразование преобразование Мёбиуса — частный случай контактного преобразования, в котором основной элемент — не точка, а окружность. Имеем круговую аналлагматическую геометрию.

Легко проверяются следующие простые свойства:

Тождественное отображение [math]\displaystyle{ f(z)=z }[/math] также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить [math]\displaystyle{ a=d=1,\;b=c=0. }[/math]
Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

При умножении параметров [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ d }[/math] на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы [math]\displaystyle{ GL_2(\mathbb C) }[/math], то есть имеет место эпиморфизм: [math]\displaystyle{ \left(\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}\right)\to\frac{az+b}{cz+d} }[/math].

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца [math]\displaystyle{ SO^\uparrow(1,\;3) }[/math].

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию [math]\displaystyle{ ad-bc=1 }[/math]. Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного [math]\displaystyle{ a+d }[/math], можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

эллиптические: [math]\displaystyle{ |a+d|\lt 2 }[/math];
параболические: [math]\displaystyle{ a+d=\pm 2 }[/math];
гиперболические: [math]\displaystyle{ |a+d|\gt 2 }[/math].

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{az+b}{cz+d} }[/math] разложимо в суперпозицию четырёх функций:

[math]\displaystyle{ f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))), }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matrix} }[/math]

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек [math]\displaystyle{ z_1,\;z_2,\;z_3 }[/math] существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки [math]\displaystyle{ w_1,\;w_2,\;w_3 }[/math]. Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка [math]\displaystyle{ w(z) }[/math] является образом точки [math]\displaystyle{ z }[/math], то выполняется равенство

[math]\displaystyle{ \frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w(z))(w_2-w_3)}, }[/math]

которое (при условии, что [math]\displaystyle{ z_i \ne z_j, w_i \ne w_j }[/math] при [math]\displaystyle{ i \ne j }[/math]) однозначно определяет искомое отображение [math]\displaystyle{ w(z). }[/math]

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

[math]\displaystyle{ f(z)=\frac{az+b}{cz+d} }[/math]

является автоморфизмом единичного круга [math]\displaystyle{ \Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|\lt 1\} }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a{\bar b}=c{\bar d} }[/math] и [math]\displaystyle{ |a|=|d|\gt |c| }[/math].

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

[math]\displaystyle{ f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi}|=1. }[/math]

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

[math]\displaystyle{ W(z)=\frac{z-i}{z+i}. }[/math]

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость [math]\displaystyle{ {\mathbb C}^+ }[/math] в единичный круг [math]\displaystyle{ \Delta }[/math].

Пространства старших размерностей

Начиная с [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:

[math]\displaystyle{ f(x)=b+A(x-a) }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=b+\dfrac{A(x-a)}{|x-a|^2} }[/math],

где [math]\displaystyle{ a,b \in \R }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math] — ортогональная матрица.

Примечания

↑ Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986, с. 5.
↑ Математическая энциклопедия, т. 3, 1982, стб. 122.

Литература

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: Мир, 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.]
Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил.

Ссылки

Moebius Transformations Revealed Архивная копия от 16 февраля 2011 на Wayback Machine на YouTube.
- то же (с русскими субтитрами) Архивная копия от 22 июня 2015 на Wayback Machine.

[_1cadf4f499acf95b-1] Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986, с. 5.

[_778f520d60ea9c9b-2] Математическая энциклопедия, т. 3, 1982, стб. 122.

[1]

[2]