Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка. Лейбниц при определении касательной, говорил о прямой проходящей через две бесконечно близкие друг к другу точки кривой.

Строгое определение

• Пусть функция [math]\displaystyle{ f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] определена в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ x_0\in \mathbb{R} }[/math], и дифференцируема в ней: [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{D}(x_0) }[/math]. Касательной прямой к графику функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется график линейной функции, задаваемый уравнением

  [math]\displaystyle{ y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb{R} }[/math].

• Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] бесконечную производную [math]\displaystyle{ f'(x_0) = \pm \infty, }[/math] то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

  [math]\displaystyle{ x = x_0. }[/math]

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку [math]\displaystyle{ (x_0,f(x_0)) }[/math]. Угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0)= k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \operatorname{tg} }[/math] обозначает тангенс, а [math]\displaystyle{ \operatorname {k} }[/math] — коэффициент наклона касательной. Производная в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] равна угловому коэффициенту касательной к графику функции [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math] в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть [math]\displaystyle{ f\colon U(x_0) \to \R }[/math] и [math]\displaystyle{ x_1 \in U(x_0). }[/math] Тогда прямая линия, проходящая через точки [math]\displaystyle{ (x_0,f(x_0)) }[/math] и [math]\displaystyle{ (x_1,f(x_1)) }[/math] задаётся уравнением

[math]\displaystyle{ y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0). }[/math]

Эта прямая проходит через точку [math]\displaystyle{ (x_0,f(x_0)) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ x_1\in U(x_0), }[/math] и её угол наклона [math]\displaystyle{ \alpha(x_1) }[/math] удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}. }[/math]

В силу существования производной функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0, }[/math] переходя к пределу при [math]\displaystyle{ x_1 \to x_0, }[/math] получаем, что существует предел

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f'(x_0), }[/math]

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

[math]\displaystyle{ \alpha = \operatorname{arctg}\,f'(x_0). }[/math]

Прямая, проходящая через точку [math]\displaystyle{ (x_0,f(x_0)) }[/math] и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий [math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0), }[/math] задаётся уравнением касательной:

[math]\displaystyle{ y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0). }[/math]

Касательная к окружности

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная [math]\displaystyle{ f'_+(x_0) \lt \infty, }[/math] то пра́вой полукаса́тельной к графику функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется луч

[math]\displaystyle{ y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0. }[/math]

• Если существует левая производная [math]\displaystyle{ f'_-(x_0) \lt \infty, }[/math] то ле́вой полукаса́тельной к графику функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется луч

[math]\displaystyle{ y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0. }[/math]

• Если существует бесконечная правая производная [math]\displaystyle{ f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty), }[/math] то правой полукасательной к графику функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется луч

[math]\displaystyle{ x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)). }[/math]

• Если существует бесконечная левая производная [math]\displaystyle{ f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty), }[/math] то правой полукасательной к графику функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется луч

[math]\displaystyle{ x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)). }[/math]

См. также

• Дифференцируемая функция
• Касательное пространство
• Нормаль, бинормаль
• Теорема о секущих

Литература

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.
• Касательная // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.