Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

Определение

Для данной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ \chi(\lambda)=\det(A-\lambda E) }[/math], где [math]\displaystyle{ E }[/math] — единичная матрица, является многочленом от [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], который называется характеристическим многочленом матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math] имеет ненулевое решение, то [math]\displaystyle{ (A-\lambda E)v=0 }[/math], значит матрица [math]\displaystyle{ A-\lambda E }[/math] вырождена и её определитель [math]\displaystyle{ \det(A-\lambda E)=\chi(\lambda) }[/math] равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу [math]\displaystyle{ A-\lambda E }[/math] называют характеристической матрицей матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].
• Уравнение [math]\displaystyle{ \chi(\lambda)=0 }[/math] называют характеристическим уравнением матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].
• Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

Свойства

• Для матрицы [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] характеристический многочлен имеет степень [math]\displaystyle{ n }[/math].
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если [math]\displaystyle{ \chi(\lambda) }[/math] — характеристический многочлен матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], то [math]\displaystyle{ \chi(A)=0 }[/math].
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: [math]\displaystyle{ \chi_{ABA^{-1}}=\chi_{B} }[/math].
• Характеристический многочлен обратной матрицы: [math]\displaystyle{ \chi_{A^{-1}}(\lambda)=\frac{(-\lambda)^{n}}{\det A}\chi_{A}(1/\lambda) }[/math].

Доказательство:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} {\det A}\cdot\chi_{A^{-1}}(\lambda) &= {\det A}\cdot\det(A^{-1}-\lambda E) = \det(A(A^{-1}-\lambda E)) \\ &= \det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda A-E) \\ &= (-\lambda)^{n}\det(A-(1/\lambda)E)=(-\lambda)^{n}\chi_{A}(1/\lambda) \end{aligned} }[/math]

• Если [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — две матрицы [math]\displaystyle{ n\times n }[/math], то [math]\displaystyle{ \chi_{AB}\,=\,\chi_{BA} }[/math]. В частности, отсюда вытекает, что след их произведения [math]\displaystyle{ \mathrm{tr}\,(AB) = \mathrm{tr}\,(BA) }[/math] и [math]\displaystyle{ \det (AB) = \det (BA) }[/math].
• В более общем виде, если [math]\displaystyle{ A }[/math] — матрица [math]\displaystyle{ m\times n }[/math], а [math]\displaystyle{ B }[/math] — матрица [math]\displaystyle{ n\times m }[/math], причем [math]\displaystyle{ m\lt n }[/math], так, что [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ BA }[/math] — квадратные матрицы размеров [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] соответственно, то:

[math]\displaystyle{ \chi_{BA}(\lambda)\,=\,\lambda^{n-m}\,\chi_{AB}(\lambda) }[/math].

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина. Высшая математика. Линейная алгебра. — Ивановский государственный энергетический университет. Архивная копия от 23 декабря 2008 на Wayback Machine