Лямбда-матрица

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени [math]\displaystyle{ \ l }[/math], и нет элементов матрицы степени большей чем [math]\displaystyle{ \ l }[/math], то [math]\displaystyle{ \ l }[/math] — степень λ-матрицы.

[math]\displaystyle{ A\left(\lambda\right)= \begin{bmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & \cdots & a_{2n}(\lambda) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(\lambda) & a_{n2}(\lambda) & \cdots & a_{nn}(\lambda) \end{bmatrix}, \qquad a_{ij}(\lambda)=a_{ij}^{(l)}\lambda^l+a_{ij}^{(l-1)}\lambda^{l-1}+\cdots+a_{ij}^{(1)}\lambda+a_{ij}^{(0)}. }[/math]

Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:

[math]\displaystyle{ A\left(\lambda\right)=A_l\lambda^l+A_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0. }[/math]

В случае если определитель матрицы [math]\displaystyle{ \ A_l }[/math] отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.

Пример нерегулярной λ-матрицы:

[math]\displaystyle{ A\left(\lambda\right)= \begin{bmatrix} \lambda^4+\lambda^2+\lambda-1 & \lambda^3+\lambda^2+\lambda+2 \\ 2\lambda^3-\lambda & 2\lambda^2+2\lambda \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\lambda^4+ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\lambda^3+ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\lambda^2+ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\lambda+ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. }[/math]

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.

Пусть [math]\displaystyle{ A\left(\lambda\right) }[/math] и [math]\displaystyle{ B\left(\lambda\right) }[/math] — λ-матрицы порядков [math]\displaystyle{ \ l }[/math] и [math]\displaystyle{ \ m }[/math] соответственно, и [math]\displaystyle{ \ k=max(l,m) }[/math], тогда

[math]\displaystyle{ A\left(\lambda\right)=A_k\lambda^k+A_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0 }[/math];

[math]\displaystyle{ B\left(\lambda\right)=B_k\lambda^k+B_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+B_1\lambda+B_0 }[/math],

где хотя бы одна из матриц [math]\displaystyle{ \ A_k, B_k }[/math] — ненулевая, имеем

[math]\displaystyle{ A\left(\lambda\right)+B\left(\lambda\right)=(A_k+B_k)\lambda^k+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda^{k-1}+\cdots+(A_1+B_1)\lambda+(A_0+B_0) }[/math];

[math]\displaystyle{ A\left(\lambda\right)B\left(\lambda\right)=A_kB_k\lambda^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda^{2k-1}+\cdots+(A_1B_0+A_0B_1)\lambda+(A_0B_0) }[/math];

Деление

Предположим, что [math]\displaystyle{ \ B(\lambda) }[/math] — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы [math]\displaystyle{ \ Q(\lambda), R(\lambda) }[/math] с [math]\displaystyle{ \ R(\lambda)\equiv 0 }[/math] или со степенью [math]\displaystyle{ \ R(\lambda) }[/math], меньшей степени [math]\displaystyle{ \ B(\lambda) }[/math], что

[math]\displaystyle{ \ A(\lambda)=Q(\lambda)B(\lambda)+R(\lambda) }[/math].

В этом случае [math]\displaystyle{ \ Q(\lambda) }[/math] называется правым частным [math]\displaystyle{ \ A(\lambda) }[/math] при делении на [math]\displaystyle{ \ B(\lambda) }[/math], а [math]\displaystyle{ \ R(\lambda) }[/math] — правым остатком. Подобно этому [math]\displaystyle{ \hat Q(\lambda) }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat R(\lambda) }[/math] — левое частное и левый остаток при делении [math]\displaystyle{ \ A(\lambda) }[/math] на [math]\displaystyle{ \ B(\lambda) }[/math], если

[math]\displaystyle{ A(\lambda)=B(\lambda)\hat Q(\lambda)+\hat R(\lambda) }[/math]

и [math]\displaystyle{ \hat R(\lambda)\equiv 0 }[/math] или степень [math]\displaystyle{ \hat R(\lambda) }[/math] меньше степени [math]\displaystyle{ \ B(\lambda) }[/math].

Если правый (левый) остаток равен 0, то [math]\displaystyle{ \ Q(\lambda) }[/math] [math]\displaystyle{ (\hat Q(\lambda)) }[/math] называется правым (левым) делителем [math]\displaystyle{ \ A(\lambda) }[/math] при делении на [math]\displaystyle{ \ B(\lambda) }[/math].

Если [math]\displaystyle{ \ B(\lambda) }[/math] — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении [math]\displaystyle{ \ A(\lambda) }[/math] на [math]\displaystyle{ \ B(\lambda) }[/math] существуют и единственны.

λ-матрицы с матричными аргументами

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

[math]\displaystyle{ a_l\lambda^l+a_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=\lambda^la_l+\lambda^{l-1}a_{l-1}+\cdots+\lambda a_1+a_0 }[/math],

поэтому мы определяем правое значение [math]\displaystyle{ \ A(B) }[/math] λ-матрицы [math]\displaystyle{ \ A(\lambda) }[/math] в матрице [math]\displaystyle{ \ B }[/math] как

[math]\displaystyle{ A\left(B\right)=A_lB^l+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots+A_1B+A_0 }[/math], если [math]\displaystyle{ A\left(\lambda\right)=A_l\lambda^l+A_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0 }[/math];

и левое значение' [math]\displaystyle{ \hat A(B) }[/math] как:

[math]\displaystyle{ \hat A\left(B\right)=B^lA_l+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots+B A_1+A_0 }[/math],

и в общем случае [math]\displaystyle{ A(B) \ne\hat A(B) }[/math].

Теорема Безу для λ-матриц

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы [math]\displaystyle{ \ A(\lambda) }[/math] на [math]\displaystyle{ \ \lambda E-B }[/math], где [math]\displaystyle{ \ E }[/math] — единичная матрица является [math]\displaystyle{ \ A(B) }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat A(B) }[/math] соответственно.

Свойство доказывается через разложение на множители:

[math]\displaystyle{ \ \lambda^jE-B^j=(\lambda^{j-1}E+\lambda^{j-2}B+\cdots+\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B) }[/math],

при умножении обеих частей этого равенства на [math]\displaystyle{ \ A_{j} }[/math] слева и сложении всех полученных равенств при [math]\displaystyle{ \ j=1,\cdots,l }[/math], правая часть будет иметь вид [math]\displaystyle{ \ C(\lambda)(\lambda E-B) }[/math], где [math]\displaystyle{ \ C(\lambda) }[/math] — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства:

[math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^l\lambda^jA_{j}-\sum_{j=1}^lA_{j}B^j=\sum_{j=0}^l\lambda^jA_{j}-\sum_{j=0}^lA_{j}B^j=A(\lambda)-A(B) }[/math].

Таким образом:

[math]\displaystyle{ \ A(\lambda)=C(\lambda)(\lambda E-B)+A(B) }[/math].

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на [math]\displaystyle{ \ A_{j} }[/math] справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица [math]\displaystyle{ \ A(\lambda) }[/math] делилась без остатка на [math]\displaystyle{ \ \lambda E-B }[/math] справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы [math]\displaystyle{ \ A(B)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\hat A(B)=0\right) }[/math].

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.