Нульмерное пространство

Нульме́рное простра́нство — топологическое пространство, размерность которого равна нулю согласно одному из нескольких неэквивалентных определений размерности топологического пространства. Графической иллюстрацией нульмерного пространства может служить произвольная точка некоторого пространства.

Определение

Топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется нульмерным, если оно нульмерно относительно топологической размерности или большой или малой индуктивной размерности, в формулах:

• [math]\displaystyle{ \mathrm{dim}(X)=0 }[/math] (топологическая размерность)
• [math]\displaystyle{ \mathrm{Ind}(X)=0 }[/math] (большая индуктивная размерность)
• [math]\displaystyle{ \mathrm{ind}(X)=0 }[/math] (малая индуктивная размерность)

Или, если точнее:

• Топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] является нульмерным относительно топологической размерности, если для любого открытого покрытия [math]\displaystyle{ V }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] существует открытое покрытие [math]\displaystyle{ U }[/math] того же пространства, такое что оно вписано в [math]\displaystyle{ V }[/math] и любая точка множества [math]\displaystyle{ X }[/math] содержится ровно в одном открытом множестве из покрытия [math]\displaystyle{ U }[/math].
• Топологическое пространство является нульмерным относительно индуктивной размерности, если оно имеет базу состоящую из открыто-замкнутых множеств.

Литература

• Arhangel'skii, Alexander & Tkachenko, Mikhail (2008), Topological Groups and Related Structures, Atlantis Studies in Mathematics, vol. 1, Atlantis Studies in Mathematics, Atlantis Press, ISBN 90-78677-06-6 
• Engelking, Ryszard. General Topology (неопр.). — PWN, Warsaw, 1977.
• Willard, Stephen. General Topology (неопр.). — Dover Publications, 2004. — ISBN 0-486-43479-6.