Предгильбертово пространство

Предги́льбертово простра́нство (у некоторых авторов также евклидово пространство) — вещественное или комплексное линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.

Определение

Пара [math]\displaystyle{ \left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\right) }[/math] называется предгильбертовым пространством, если [math]\displaystyle{ X }[/math] — линейное пространство, а [math]\displaystyle{ \langle\cdot , \cdot\rangle }[/math] — определённое на [math]\displaystyle{ X }[/math] скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

Норма

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

[math]\displaystyle{ \| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X }[/math].

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых [math]\displaystyle{ x }[/math] (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Свойства

Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве [math]\displaystyle{ (H,\;\|\cdot\|) }[/math] справедлив закон параллелограмма, то [math]\displaystyle{ (H,\;\|\cdot\|) }[/math] — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \|x\|=(x,x)^{1/2} }[/math].

Пример

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций с интегрируемым квадратом

[math]\displaystyle{ L^2([a,b]) = \left\{f\colon[a,b] \to \R\,\left|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\,dx \lt \infty\right.\right\}, }[/math]

если скалярное произведение определить как

[math]\displaystyle{ \langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b]\big). }[/math]

Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L²).

См. также

• Евклидово пространство