Эрмитово-сопряжённая матрица

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транспони́рованная ма́трица — это матрица [math]\displaystyle{ A }[/math]^* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.

Определение и обозначения

Если исходная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ m \times n }[/math], то эрмитово-сопряжённая к [math]\displaystyle{ A }[/math] матрица [math]\displaystyle{ A^* }[/math] будет иметь размер [math]\displaystyle{ n \times m, }[/math] а её [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math]-й элемент будет равен:

[math]\displaystyle{ \left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \overline{z} }[/math] обозначает комплексно-сопряжённое число к [math]\displaystyle{ z }[/math] (сопряжённое число к [math]\displaystyle{ a + bi }[/math] есть [math]\displaystyle{ a - bi }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — вещественные числа).

Иначе можно переписать данное определение следующим образом:

[math]\displaystyle{ A^* = \left(\overline{A}\right)^{\text{T}} = \overline{{A}^{\text{T}}}. }[/math]

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как [math]\displaystyle{ A^* }[/math] или [math]\displaystyle{ A^H }[/math] (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

[math]\displaystyle{ A^{\dagger} }[/math] — в квантовой механике;
[math]\displaystyle{ A^+ }[/math] — но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы.

Пример

Если

[math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix} }[/math]

тогда

[math]\displaystyle{ A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}. }[/math]

Связанные определения

Если матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

[math]\displaystyle{ A^* = A^T, }[/math] если [math]\displaystyle{ a_{ij} \in \mathbb{R}. }[/math]

Квадратная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] называется:

эрмитовой, если [math]\displaystyle{ A^*= A }[/math];
антиэрмитовой или косоэрмитовой, если [math]\displaystyle{ A^* = -A }[/math];
нормальной, если [math]\displaystyle{ A^*A = AA^* }[/math];
унитарной, если [math]\displaystyle{ A^*A = AA^* = I }[/math], где [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичная матрица.

Свойства

[math]\displaystyle{ (A + B)^* = A^* + B^* }[/math] для любых двух матриц [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] одинаковых размеров.
[math]\displaystyle{ (cA)^* = \overline{c} A^* }[/math] для любого комплексного скаляра [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{C} }[/math].
[math]\displaystyle{ (AB)^* = B^* A^* }[/math] для любых матриц [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], таких, что определено их произведение [math]\displaystyle{ AB }[/math]. Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
[math]\displaystyle{ (A^*)^* = A }[/math] для любой матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].
Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
[math]\displaystyle{ A }[/math] обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица [math]\displaystyle{ A^* }[/math]. При этом:
[math]\displaystyle{ (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* }[/math]
[math]\displaystyle{ \langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle }[/math] для любой матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] и любых векторов [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{C}^n }[/math] и [math]\displaystyle{ y \in \mathbb{C}^m }[/math]. Обозначение [math]\displaystyle{ \langle\cdot,\cdot\rangle }[/math] обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
Матрицы [math]\displaystyle{ AA^* }[/math] и [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] (необязательно квадратной). Если [math]\displaystyle{ A }[/math] квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

См. также

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.