Ортогональный базис

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Ортогона́льный (ортонорми́рованный) ба́зис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис удовлетворяет ещё и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

[math]\displaystyle{ ( e_i, e_j ) = \delta_{ij}, }[/math]

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ([math]\displaystyle{ i\ne j }[/math]), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

[math]\displaystyle{ \ \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + \ldots + a_n \mathbf{e_n} }[/math]

можно найти так:

[math]\displaystyle{ \ a_i = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e_i})}{(\mathbf{e_i},\mathbf{e_i})}. }[/math]

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

[math]\displaystyle{ (\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2, }[/math]

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов [math]\displaystyle{ e_1,e_2,...,e_n,... }[/math] гильбертова пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] такая, что любой элемент [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

[math]\displaystyle{ x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n , }[/math]

называемого рядом Фурье элемента [math]\displaystyle{ x }[/math] по системе [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math].

Часто базис [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] выбирается так, что [math]\displaystyle{ |e_n|=1 }[/math], и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа [math]\displaystyle{ a_n }[/math], называются коэффициентами Фурье элемента [math]\displaystyle{ x }[/math] по ортонормированному базису [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math], имеют вид

[math]\displaystyle{ a_n=( x,e_n ) }[/math].

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n^2\lt \infty }[/math], то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_ne_n }[/math] — сходится по норме к некоторому элементу [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству [math]\displaystyle{ l_2 }[/math] (теорема Рисса — Фишера).

Примеры

Стандартный базис [math]\displaystyle{ e_1=(1, 0,\ldots,0)^\mathrm{T}, e_2=(0, 1,\ldots, 0)^\mathrm{T}, \ldots e_n=(0, 0,\ldots,1)^\mathrm{T} }[/math] в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ является ортонормированным.

Множество [math]\displaystyle{ \{f_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}, n \in \mathbb{Z}\} }[/math] образует ортонормированный базис в [math]\displaystyle{ L^2([-\pi, \pi]) }[/math].

Литература

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

См. также