Квадратичная форма

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ L }[/math] есть векторное пространство над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ e_1,e_2,\dots,e_n }[/math] — базис в [math]\displaystyle{ L }[/math].

Функция [math]\displaystyle{ Q : L \to K }[/math] называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

[math]\displaystyle{ Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j, }[/math]

где [math]\displaystyle{ x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n }[/math], а [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] — некоторые элементы поля [math]\displaystyle{ K }[/math].

Связанные определения и свойства

Матрицу [math]\displaystyle{ A=(a_{ij}) }[/math] называют матрицей квадратичной формы [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math] в данном базисе. В случае, если характеристика поля [math]\displaystyle{ K }[/math] не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть [math]\displaystyle{ a_{ij}=a_{ji} }[/math]. Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде

[math]\displaystyle{ Q(x_1,x_2) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2 }[/math].

При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math]) с матрицей замены [math]\displaystyle{ C }[/math] матрица квадратичной формы изменяется по формуле

[math]\displaystyle{ A' = C^T A \, C, }[/math]

где [math]\displaystyle{ A' }[/math] — матрица квадратичной формы в новом базисе.

Из формулы [math]\displaystyle{ A' = C^T A \, C }[/math] следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг [math]\displaystyle{ n }[/math], то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
Для любой квадратичной формы [math]\displaystyle{ Q }[/math] существует единственная симметричная билинейная форма [math]\displaystyle{ B }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ Q(x)=B(x,x) }[/math]. Билинейную форму [math]\displaystyle{ B }[/math] называют полярной к [math]\displaystyle{ Q }[/math], если она может быть вычислена по формуле

[math]\displaystyle{ B(x,y)=\frac{1}{2}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)). }[/math]

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы

В случае, когда [math]\displaystyle{ K = \R }[/math] (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

Квадратичная форма [math]\displaystyle{ Q }[/math] называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] выполнено неравенство [math]\displaystyle{ Q(x)\gt 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (Q(x)\lt 0) }[/math]. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
Квадратичная форма [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math] называется знакопеременной (индефинитной), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Квадратичная форма [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math] называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если [math]\displaystyle{ Q(x)\ge 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (Q(x)\le 0) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ x\in L }[/math] и существует [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] такой что [math]\displaystyle{ Q(x)=\ 0 }[/math].

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда [math]\displaystyle{ K = \R }[/math] (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

[math]\displaystyle{ Q(x)= a_1x^2_1+ \cdots+ a_px^2_p - a_{p+1}x^2_{p+1}- \cdots -a_{p+q}x^2_{p+q}, \quad \ 0 \le p,q \le r, \quad p+q = r, \qquad (*) }[/math]

где [math]\displaystyle{ r }[/math] — ранг квадратичной формы. . В этом случае коэффициенты [math]\displaystyle{ a_{i} }[/math] называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы [math]\displaystyle{ p+q=n }[/math], а в случае вырожденной — [math]\displaystyle{ p+q\lt n }[/math].

Существует также нормальный вид квадратичной формы: [math]\displaystyle{ Q_{n}(x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_p -x^2_{p+1}- \cdots -x^2_{p+q}, \quad \ 0 \le p,q \le r, \quad p+q = r, \qquad (*) }[/math].

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число [math]\displaystyle{ q }[/math] (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число [math]\displaystyle{ p-q }[/math] (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math]. Числа [math]\displaystyle{ p,q, p-q }[/math] являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай

В случае, когда [math]\displaystyle{ K = \Complex }[/math] (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

[math]\displaystyle{ Q(x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_r, \qquad (**) }[/math]

где [math]\displaystyle{ r }[/math] — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры

Скалярное произведение векторов [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма [math]\displaystyle{ Q(x)=(x,x) }[/math] является положительно определённой, она сопоставляет вектору [math]\displaystyle{ x }[/math] квадрат его длины.
Квадратичная форма [math]\displaystyle{ Q(x)=x_1x_2 }[/math] на плоскости (вектор [math]\displaystyle{ x }[/math] имеет две координаты: [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math]) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду [math]\displaystyle{ x_1'^2-x_2'^2 }[/math] с помощью линейной замены [math]\displaystyle{ x_1 = x_1'+x_2', \ x_2 = x_1'-x_2' }[/math].

См. также

Примечания

Литература

Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.