Двойное векторное произведение

Двойно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: тройное векторное произведение) [math]\displaystyle{ \left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right] }[/math] векторов [math]\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} }[/math] — векторное произведение вектора [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] на векторное произведение векторов [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{c}: }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\right] = \left[\vec{a}, \left[\vec{b}, \vec{c}\right]\right]. }[/math]

В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным (по числу векторов), так и двойным (по числу операций умножения).

Свойства

Формула Лагранжа

Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа:

[math]\displaystyle{ \Big[\vec{a}, \big[\vec{b}, \vec{c}\big]\Big] = \vec{a} \times \big(\vec{b} \times \vec{c}\big) = \vec{b} \big(\vec{a} \cdot \vec{c} \big) - \vec{c} \big(\vec{a} \cdot \vec{b}\big), }[/math]

которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».

Доказательство 1

Выберем правый ортонормированный базис [math]\displaystyle{ \vec{e_1},~ \vec{e_2},~ \vec{e_3} }[/math] так, чтобы

[math]\displaystyle{ \vec{a} = \alpha_1 \vec{e_1} + \alpha_2 \vec{e_2} + \alpha_3 \vec{e_3}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec{b} = \beta_1 \vec{e_1} + \beta_2 \vec{e_2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec{c} = \gamma_1 \vec{e_1}. }[/math]

Тогда

[math]\displaystyle{ \left[ \vec{b}, \vec{c} \right] = \left( 0, 0, -\beta_2\gamma_1 \right), }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[ \vec{a}, \left[ \vec{b}, \vec{c} \right] \right] = \left( - \alpha_2\beta_2\gamma_1, \alpha_1\beta_2\gamma_1, 0 \right) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \vec{b} \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) = \alpha_1\gamma_1\vec{b} - \left( \alpha_1\beta_1 + \alpha_2\beta_2 \right) \vec{c} = \left( - \alpha_2\beta_2\gamma_1, \alpha_1\beta_2\gamma_1, 0 \right). }[/math]

Таким образом,

[math]\displaystyle{ \left[ \vec{a}, \left[ \vec{b}, \vec{c} \right] \right] = \vec{b} \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right). }[/math]

Доказательство 2 (с помощью тензора Леви-Чивиты)

Другой вариант доказательства использует разложение векторного произведения по компонентам с помощью тензора Леви-Чивиты [math]\displaystyle{ \varepsilon_{i j k} }[/math]:

[math]\displaystyle{ [ \vec a,\; \vec b ]_i = \varepsilon_{i j k} a_j b_k }[/math]

(здесь и ниже по повторяющимся индексам производится суммирование, т.е. [math]\displaystyle{ \varepsilon_{i j k} a_j b_k = \sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k, }[/math] см. соглашение Эйнштейна о суммировании).

[math]\displaystyle{ \left[\vec{a}, \left[\vec{b}, \vec{c}\right]\right]_i = \varepsilon_{ijk} a_j (\varepsilon_{klm} b_l c_m) = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} a_j b_l c_m = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}) a_j b_l c_m. }[/math]

Использовано соотношение [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math] — символ Кронекера. Далее,

[math]\displaystyle{ \left[\vec{a}, \left[\vec{b}, \vec{c}\right]\right]_i =\delta_{il}\delta_{jm} a_j b_l c_m - \delta_{im}\delta_{jl} a_j b_l c_m = \delta_{il} a_m b_l c_m - \delta_{im} a_l b_l c_m = a_m b_i c_m - a_l b_l c_i = b_i(\vec{a}\cdot\vec{c})-c_i(\vec{a}\cdot\vec{b}). }[/math]

Здесь использовано свойство дельты Кронекера, позволяющее заменять индекс, по которому идет суммирование с дельтой: [math]\displaystyle{ \delta_{ij}a_j = a_i. }[/math] Таким образом,

[math]\displaystyle{ \left[\vec{a}, \left[\vec{b}, \vec{c}\right]\right]_i = b_i(\vec{a}\cdot\vec{c}) - c_i(\vec{a}\cdot\vec{b}), }[/math]

и, переходя от компонентов ко всему вектору, получаем искомое соотношение.

Тождество Якоби

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби:

[math]\displaystyle{ \big[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\big] + \big[\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}\big] + \big[\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}\big] = \vec 0, }[/math]

которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа:

[math]\displaystyle{ \vec 0 = \vec{b} \big(\vec{a} \cdot \vec{c}\big) - \vec{c} \big(\vec{a} \cdot \vec{b}\big) + \vec{c} \big(\vec{b} \cdot \vec{a}\big) - \vec{a} \big(\vec{b} \cdot \vec{c}\big) + \vec{a} \big(\vec{c} \cdot \vec{b}\big) - \vec{b} \big(\vec{c} \cdot \vec{a}\big). }[/math]

См. также

• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение