Теорема представлений Риса

Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.

Формулировка

Пусть существуют гильбертово пространство [math]\displaystyle{ H }[/math] и линейный ограниченный функционал [math]\displaystyle{ f \in H' }[/math] в пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math]. Тогда существует единственный элемент [math]\displaystyle{ y }[/math] пространства [math]\displaystyle{ H }[/math], такой, что для произвольного [math]\displaystyle{ x \in H }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ f(x)=\langle y,x\rangle }[/math]. Кроме того, выполняется равенство: [math]\displaystyle{ \|y\|=\|f\| }[/math].

Доказательство

[math]\displaystyle{ \ker(f) }[/math] ядро линейного функционала является векторным подпространством [math]\displaystyle{ H }[/math].

Существование [math]\displaystyle{ y }[/math]

Если [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math], то достаточно взять [math]\displaystyle{ y=0 }[/math]. Предположим, что [math]\displaystyle{ f\ne 0 }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \ker(f)\ne H }[/math], и, следовательно, ортогональное дополнение [math]\displaystyle{ \ker(f)^\bot }[/math] ядра [math]\displaystyle{ f }[/math] не равно [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math]. Выберем произвольный ненулевой вектор [math]\displaystyle{ b \in \ker(f)^\bot \setminus \big\{0\big\} }[/math]. Положим [math]\displaystyle{ y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b }[/math]. Мы покажем, что [math]\displaystyle{ f(x) = \langle y, x\rangle }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x \in H }[/math]. Рассмотрим вектор [math]\displaystyle{ p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b }[/math]. Заметим, что [math]\displaystyle{ f(p_x) = f(x)-\tfrac{f(x)}{f(b)}f(b) = 0 }[/math], и, таким образом, [math]\displaystyle{ p_x \in \ker(f) }[/math] . Поскольку [math]\displaystyle{ b \in \ker(f)^\bot }[/math], то [math]\displaystyle{ \langle b,p_x\rangle = 0 }[/math]. Следовательно,

[math]\displaystyle{ \langle b, p_x \rangle =\Big\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \Big\rangle = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2 = 0 }[/math].

Отсюда [math]\displaystyle{ f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2} }[/math] и [math]\displaystyle{ f(x) = \langle y, x \rangle }[/math].

Единственность [math]\displaystyle{ y }[/math]

Предположим, что [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math] элементы [math]\displaystyle{ H }[/math] удовлетворяют [math]\displaystyle{ f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle }[/math].

Это означает, что для всех [math]\displaystyle{ x \in H }[/math] справедливо равенство [math]\displaystyle{ \langle y-z, x \rangle = 0 }[/math], в частности [math]\displaystyle{ \langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0 }[/math], откуда и получается равенство [math]\displaystyle{ y = z }[/math].

Равенство норм

Для доказательства [math]\displaystyle{ \|y\|=\|f\| }[/math] сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: [math]\displaystyle{ |f(x)|=|\langle y,x\rangle| \leq \|y\|\|x\| }[/math]. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: [math]\displaystyle{ \|f\|\leq\|y\|. }[/math] Кроме того, [math]\displaystyle{ \langle y, y \rangle = f(y) \leq \|y\|\|f\| }[/math], откуда [math]\displaystyle{ \|y\|\leq\|f\| }[/math]. Объединяя два неравенства, получаем [math]\displaystyle{ \|y\|=\|f\| }[/math].

См. также

• Теорема Лакса — Мильграма