Размерность Минковского

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{\varepsilon\to0}\frac{\ln(N_\varepsilon)}{-\ln(\varepsilon)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ N_\varepsilon }[/math] — минимальное число множеств диаметра [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры

• размерность конечного множества равна нулю, так как для него [math]\displaystyle{ \rho(n) }[/math] не превосходит количества элементов в нём.
• размерность отрезка равна 1, так как необходимо [math]\displaystyle{ \lceil a/\epsilon\rceil }[/math] отрезков длины [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math], чтобы покрыть отрезок длины [math]\displaystyle{ a }[/math]. Таким образом,

  [math]\displaystyle{ \lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln a-\ln\epsilon}{-\ln\epsilon}=1 }[/math],

• размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю [math]\displaystyle{ 1/n }[/math], необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной [math]\displaystyle{ a }[/math], ведет себя примерно как [math]\displaystyle{ a^2n^2 }[/math].
• размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна [math]\displaystyle{ \ln4/\ln3 }[/math].

Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра [math]\displaystyle{ 1/n }[/math], нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра [math]\displaystyle{ 2/n }[/math]. Поэтому для отрезка имеем [math]\displaystyle{ \rho(n)\approx 2\rho(n/2) }[/math]. То есть, при увеличении [math]\displaystyle{ n }[/math] в два раза [math]\displaystyle{ \rho(n) }[/math] увеличивается тоже в два раза. Иными словами, [math]\displaystyle{ \rho(n) }[/math] — линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает [math]\displaystyle{ \rho(n)\approx 4\rho(n/2) }[/math]. То есть, при увеличении [math]\displaystyle{ n }[/math] в два раза [math]\displaystyle{ \rho(n) }[/math] увеличивается в 4 раза. Иными словами, [math]\displaystyle{ \rho(n) }[/math] — квадратичная функция.

Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё [math]\displaystyle{ \rho(n)\approx 4\rho(n/3) }[/math]. Подставляя [math]\displaystyle{ n=3^k }[/math], получаем [math]\displaystyle{ \rho(3^k)\approx 4\rho(3^{k-1})\approx 4^2\rho(3^{k-2})\approx \dots\approx 4^k\rho(1)=4^{\log_3 n}\rho(1)=n^{\ln4/\ln3}\rho(1) }[/math]. Отсюда следует, что размерность равна [math]\displaystyle{ \ln4/\ln3 }[/math].

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет [math]\displaystyle{ 4^{n} }[/math] равных отрезков, длиной [math]\displaystyle{ 3^{-n} }[/math]. Возьмём за ε отрезок длиной [math]\displaystyle{ 3^{-n} }[/math], тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится [math]\displaystyle{ 4^{n} }[/math] отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. Получим

  [math]\displaystyle{ \lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(4^{n})}{-\ln(3^{-n})}=\frac{\ln4}{\ln3} }[/math]

• размерность Минковского множества [math]\displaystyle{ \{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\} }[/math] равна 1/2.

Свойства

• Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
• Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
• Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. также

• Размерность Хаусдорфа
• Фрактал
• Эпсилон-энтропия

Литература

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000