Нормаль

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Норма́ль в геометрии — обобщение понятия перпендикуляра к прямой или плоскости на произвольные гладкие кривые и поверхности.

В точке кривой построены векторы касательной (T), главной нормали (N) и бинормали (B). Показана также соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.

Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной прямой в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую нормальную плоскость. Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью[1].

Нормаль к поверхности в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно[1].

Понятие нормали может быть легко распространено на многомерные многообразия. Кроме геометрии, нормали широко используются в геометрической оптике, механике, при создании трёхмерной компьютерной графики, в теории потенциала и в других естественных науках[2].

Вектор нормали

Векторы нормали в точках поверхности

Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.

Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.

Нормаль к пространственной кривой

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) }[/math] — векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: [math]\displaystyle{ [[\mathbf{r}', \ \mathbf{r}''], \ \mathbf{r}']. }[/math] В случае естественной параметризации кривой (её длиной дуги) орт главной нормали[3] равен [math]\displaystyle{ \mathbf{r}'' }[/math].

Векторное уравнение бинормали в точке [math]\displaystyle{ t=t_0 }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{r}(\lambda)=\boldsymbol{r}(t_0)+\lambda [\boldsymbol{r}'(t_0),~\boldsymbol{r}''(t_0)]. }[/math]

Уравнение нормальной плоскости[3] в точке [math]\displaystyle{ \boldsymbol{r}(t_0) =\{x_0,y_0,z_0\} }[/math]:

[math]\displaystyle{ x'_0(x-x_0) + y'_0(y-y_0) + z'_0(z-z_0) = 0 }[/math]

Нормаль к плоской кривой

Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке [math]\displaystyle{ (x_0,\ y_0) }[/math] имеет следующий вид.

Способ задания
плоской кривой
Уравнение кривой Уравнение нормали
Параметрическое задание [math]\displaystyle{ \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) }[/math] [math]\displaystyle{ y = y_0 - \frac{x_0'}{y_0'} (x-x_0) }[/math]
Явное задание [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] [math]\displaystyle{ y = y_0 - \frac{x-x_0}{y_0'} }[/math]
Неявное задание [math]\displaystyle{ F(x,y)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ y = y_0 + \frac{(F_y')_0}{(F_x')_0} (x-x_0) }[/math]

Нормаль к поверхности

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

Координаты нормали в точке поверхности
параметрическое задание: [math]\displaystyle{ \mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v) }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2}} }[/math]
неявное задание: [math]\displaystyle{ F(x,y,z)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}} }[/math]
явное задание: [math]\displaystyle{ z=f(x,y) }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}} }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix} }[/math]. Все производные берутся в точке [math]\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0) }[/math]. Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции [math]\displaystyle{ F(x,y,z) }[/math] совпадает с направлением её градиента.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол [math]\displaystyle{ \theta }[/math]. Тогда кривизна [math]\displaystyle{ k }[/math] кривой связана с кривизной [math]\displaystyle{ k_n }[/math] нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье[4]:

[math]\displaystyle{ k_n = \pm k\,\cos\,\theta }[/math]

Кривизна [math]\displaystyle{ k_n }[/math] нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида и т. п. кривизна постоянна, и все направления — главные[5].

Примечания

  1. 1,0 1,1 Математическая энциклопедия, 1982, с. 1049—1050.
  2. Нормаль // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 416. — 847 с.
  3. 3,0 3,1 Рашевский, 1956, с. 146.
  4. Погорелов, 1974, с. 125—126.
  5. Погорелов, 1974, с. 132—133.

Литература

  • Нормаль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  • Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1956.

Ссылки