Список матриц

Здесь собраны наиболее важные классы матриц, используемые в математике, науке (в целом) и прикладной науке (в частности).

Под матрицей понимается прямоугольный массив чисел, называемых элементами. Матрицы имеют длинную историю исследований и приложений, что приводит к различным способам их классификации. Первая группа матриц удовлетворяет конкретным условиям и ограничениям на их элементы, включая постоянные матрицы. Важный пример матриц такого вида предоставляет единичная матрица:

[math]\displaystyle{ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}. }[/math]

Обозначается также буквой E. Другие способы классификации матриц связаны либо с их собственными значениями, либо с условиями в виде матричных уравнений (соотношений). Наконец, во многих областях (в физике и в химии) встречаются матрицы специального вида, которые применяются исключительно в этих областях.

Матрицы, определяемые условиями на элементы

Данный ниже список матриц определяется условиями, которые накладываются на элементы матриц. Многие из таких свойств оказываются применимыми только к квадратным матрицам. В квадратной матрице имеются две диагонали: главная диагональ (идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и побочная диагональ (идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол).

Матрицы общего вида

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что условия на элементы матриц описываются в терминах структуры матрицы. Сюда относится взаимное расположение ненулевых элементов, а также свойства инвариантности относительно матричных преобразований.

Название	Описание	Примечания, пояснения
Бинарная матрица	Матрица, состоящая из нулей и единиц.	Синонимы: булевская матрица, логическая матрица.
Матрица альтернанса	Матрица, элементы которой представляют собой значения функций в определённых точках.	[math]\displaystyle{ a_{i,j} = f_j(\alpha_i) }[/math]
Нулевая матрица	Матрица, полностью состоящая из нулей.	[math]\displaystyle{ a_{ij} = 0 }[/math]
Антидиагональная матрица	Квадратная матрица, все элементы которой, лежащие вне побочной диагонали, равны нулю.
Антиэрмитова матрица	Квадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя с изменением знака при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы), [math]\displaystyle{ A = -A^*. }[/math]	Синоним косо-эрмитовой матрицы.
Антисимметричная матрица		Синоним кососимметричной матрицы.
Стрелочная матрица^[англ.]	Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой являются элементами первого столбца, первой строки или главной диагонали.
Ленточная матрица^[англ.]	Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.
Бидиагональная матрица^[англ.]	Матрица, все ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали и на одной из под- или наддиагонали.
Бисимметричная матрица	Квадратная матрица, симметричная как относительно главной диагонали, так и относительно побочной диагонали.
Блочно-диагональная матрица	Блочная матрица, у которой имеются матрицы только на главной диагонали.
Блочная матрица	Матрица, которая разбита на подматрицы, называемые блоками.
Блочно-трёхдиагональная матрица^[англ.]	Блочная матрица, чьи блоки организованы так же, как у трёхдиагональной матрицы.
Булевская матрица		синоним для (0,1)-матрицы, бинарной матрицы и логической матрицы.
Матрица Коши	Матрица, каждый элемент которой имеет вид [math]\displaystyle{ a_{ij}=1/(x_i+y_j), }[/math] где [math]\displaystyle{ x_i }[/math] и [math]\displaystyle{ y_j }[/math] — две инъективные последовательности
Центросимметричная матрица	Матрица, симметричная относительно своего центра, то есть: [math]\displaystyle{ a_{ij} = a_{n - i + 1, n - j + 1} }[/math]
Конференс-матрица	Квадратная матрица с нулевыми элементами на диагонали и элементами вида +1 и −1 вне диагонали, такая, что [math]\displaystyle{ C^T C }[/math] — единичная матрица.
Комплексная матрица Адамара^[англ.]	Матрица, все строки и столбцы которой попарно ортогональны друг другу, а сами элементы унимодулярны.
Положительно полуопределенная матрица	Квадратная матрица с вещественными элементами такая, что квадратичная форма [math]\displaystyle{ x^T Ax }[/math] оказывается неотрицательной для каждого неотрицательного [math]\displaystyle{ x }[/math].	[math]\displaystyle{ f(x)=x^TAx }[/math]
Диагонально доминирующая матрица	Матрица, элементы которой удовлетворяют указанному здесь условию:	[math]\displaystyle{ \|a_{ii}\| \geq \sum_{j\neq i} \|a_{ij}\| \quad\text{for all } i, }[/math]
Диагональная матрица	Матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Элементарная матрица	Матрица, которая получается из единичной при помощи элементарных преобразований.
Эквивалентная матрица^[англ.]	Матрица, которая получается из другой матрицы при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами.
Матрица Фробениуса	Матрица, которая получается из единичной при помощи сдвига и добавления нового столбца.
Эрмитова матрица, эрмитово-самосопряжённая матрица	Квадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы), [math]\displaystyle{ A = A^*. }[/math]
Неотрицательная матрица	Матрица, все элементы которой неотрицательны.
Матрица перестановки	Квадратная матрица, в которой в каждом столбце и в каждой строке стоит ровно одна единица, а остальные нули. Является матричным представлением перестановки.
Обобщённая матрица перестановки^[англ.]	Квадратная матрица с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и в каждом столбце.
Персимметричная матрица	Матрица, симметричная относительно побочной диагонали: [math]\displaystyle{ a_{ij} = a_{n - j + 1, n - i + 1}. }[/math]
Полиномиальная матрица	Матрица, все элементы которой суть полиномы.
Положительная матрица	Матрица, все элементы которой положительны.
Матрица кватернионов	Матрица, все элементы которой представляют собой кватернионы.
Матрица знака^[англ.]	Матрица, все элементы которой равны 1, 0 или −1.
Матрица сигнатуры^[англ.]	Матрица, все элементы которой равны либо 1, либо −1.
Косоэрмитова матрица	Квадратная комплексная матрица, которая меняет знак при эрмитовом сопряжении.	То же, что и антиэрмитова матрица.
Кососимметричная матрица	Квадратная матрица, которая меняет знак при транспонировании, [math]\displaystyle{ a_{ij} = -a_{ji}. }[/math]	То же, что и антисимметричная матрица.
Небесная матрица^[англ.]	Ленточная матрица, реорганизованная таким образом, чтобы уменьшить занимаемое пространство.
Разреженная матрица	Матрица, практически полностью состоящая из нулей.	Алгоритмы для разреженных матриц позволяют обрабатывать бо́льшие матрицы, чем для плотных
Матрица Сильвестра	Квадратная матрица, чьи элементы — это коэффициенты двух полиномов.	Матрица Сильвестра не вырождена тогда и только тогда, когда два полинома взаимно просты.
Симметричная матрица	Квадратная матрица, которая совпадает со своей транспонированной: [math]\displaystyle{ A=A^T }[/math] ([math]\displaystyle{ a_{i , j } = a_{j,i} }[/math]).
Тёплицева матрица	Матрица, у которой на диагоналях стоят одни и те же элементы.
Треугольная матрица	Матрица, у которой все элементы выше главной диагонали нулевые (нижнетреугольная матрица), или матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали нулевые (верхнетреугольная матрица).
Трёхдиагональная матрица	Матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трёх диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу.
Унитарная матрица	Квадратная комплексная матрица, обращение которой даёт эрмитово-сопряжённую матрицу, [math]\displaystyle{ A^{-1}=A^*. }[/math]
Специальная унитарная матрица	Унитарная матрица, определитель которой равен единице
Матрица Вандермонда	Матрица, строки (или столбцы) которой представляют собой последовательные степени: 1, a, a², a³, …, aⁿ
Матрица Уэлша^[англ.]	Квадратная матрица размера, равного степени двойки, состоящая из элементов +1 или −1.
Z-матрица	Матрица, все недиагональные элементы которой меньше нуля.
Ганкелева матрица	Квадратная матрица, у которой на каждой побочной диагонали стоят равные элементы.

Постоянные матрицы

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что их элементы являются одними и теми же для всех возможных размеров матриц.

Название	Описание	Условия на элементы	Примечания
Обменная матрица	Бинарная матрица, у которой на побочной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нулевые.	[math]\displaystyle{ a_{ij} = \delta_{n + 1 - i, j} }[/math]	См. Матрица перестановки.
Матрица Гильберта		[math]\displaystyle{ a_{ij} = {(i+j-1)}^{-1} }[/math]	См. Ганкелева матрица.
Единичная матрица	Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.	[math]\displaystyle{ a_{ij} = \delta_{ij} }[/math]
Матрица Лемера		a_ij = min(i, j) ÷ max(i, j)	См. положительную симметричную матрицу.
Матрица единиц	Матрица, все элементы которой суть единицы.	[math]\displaystyle{ a_{ij} = 1 }[/math]
Матрица Паскаля	Матрица, состоящая из элементов треугольника Паскаля.
Матрица Паули	Блочная матрица, состоящая из блоков размера 2 × 2, каждый из которых представляет собой комплексную эрмитовую и унитарную матрицу.
Матрица Редхеффера		a_ij = 1, если i делится на j или если j = 1; в противном случае, a_ij = 0.	См. (0, 1)-матрица.
Матрица сдвига	Матрица, у которой на одной из побочных диагоналях стоят единицы, а остальные элементы нулевые.	[math]\displaystyle{ a_{ij} = \delta_{i+1,j} }[/math] или [math]\displaystyle{ a_{ij} = \delta_{i-1,j} }[/math]	Умножением на эту матрицу элементы сдвигаются на одну позицию.
Нулевая матрица	Матрица, у которой все элементы нулевые.	[math]\displaystyle{ a_{ij} = 0 }[/math]

Преобразованные матрицы

Матрицы, удовлетворяющие условиям на произведения или обратные матрицы

Название	Описание	Примечания
Идемпотентная матрица	Матрица A обладающая свойством A² = AA = A.
Обратимая матрица	Квадратная, имеющая обратную, то есть, такую матрицу B, что AB = BA = I.	Обратимые матрицы образуют общую линейную группу.
Инволютивная матрица	Квадратная матрица A, обратная самой себе, то есть AA = I.
Нильпотентная матрица	Квадратная матрица A такая, что A^q = 0 для некоторого положительного q.	Эквивалентно, все собственные значения A равны 0.
Нормальная матрица	Квадратная матрица, коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой: AA^∗ = A^∗A	Для таких матриц справедлива спектральная теорема.
Ортогональная матрица	Матрица, обратная своей транспонированной: A⁻¹ = A^T.	Такие матрицы образуют ортогональную группу.
Ортонормированная матрица	Матрица, столбцы которой являются ортонормированными векторами.
Вырожденная матрица	Квадратная матрица, которая не является обратимой.
Унимодулярная матрица	Квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен +1 или −1.
Унипотентная матрица	Квадратная матрица, все собственные значения равны 1.	Эквивалентно, A − I нильпотентна. См. также унипотентная группа.
Вполне унимодулярная матрица	Матрица, любая обратимая подматрица которой является унимодулярной.	Используется линейном программировании при релаксации целых программ.
Весовая матрица	Квадратная матрица, элементы которой принадлежат множеству {0, 1, −1}, так что AA^T = wI для некоторого целого w.

Матрицы, используемые в теории графов

Матрица смежности
Матрица бисмежности
Матрица степени
Матрица Эдмондса
Матрица инцидентности
Матрица Кирхгофа (матрица Лапласа)
Матрица смежности Зейделя
Матрица Татта

Матрицы, используемые в физике

Ссылки

Brookes, M., «The Matrix Reference Manual», Imperial College, London, UK

Литература

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.
Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.