Полное метрическое пространство

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства).

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство [math]\displaystyle{ X=(X,\rho) }[/math] можно вложить в полное пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] таким образом, что метрика [math]\displaystyle{ Y }[/math] продолжает метрику [math]\displaystyle{ X }[/math], а подпространство [math]\displaystyle{ X }[/math] всюду плотно в [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Такое пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется пополнением [math]\displaystyle{ X }[/math] и обычно обозначается [math]\displaystyle{ \bar X }[/math].

Построение

Для метрического пространства [math]\displaystyle{ X=(X,\rho) }[/math], на множестве фундаментальных последовательностей в [math]\displaystyle{ X }[/math] можно ввести отношение эквивалентности

[math]\displaystyle{ (x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0. }[/math]

Множество классов эквивалентности [math]\displaystyle{ \bar X }[/math] с метрикой, определённой

[math]\displaystyle{ \bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n), }[/math]

является метрическим пространством. Само пространство [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] изометрически вкладывается в него следующим образом: точке [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] соответствует класс постоянной последовательности [math]\displaystyle{ x_n=x }[/math]. Получившееся пространство [math]\displaystyle{ (\bar X,\bar \rho) }[/math] и будет пополнением [math]\displaystyle{ X }[/math].

Свойства

• Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
• Пополнение метрического [math]\displaystyle{ M }[/math] пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
• Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
• Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
• Метрическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] можно покрыть конечным числом шаров радиуса [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].
• Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
• Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
  • Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

Примеры

Полные метрические пространства

• Множество вещественных (действительных) чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] полно в стандартной метрике [math]\displaystyle{ d(x, y) = |x - y| }[/math].
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
• Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
• Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства

• Рациональные числа [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] со стандартным расстоянием [math]\displaystyle{ d(x,y)=|x-y| }[/math] являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
• Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Q_p }[/math].
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике [math]\displaystyle{ d(f, g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx }[/math]. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

• Если [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература

• Зорич В.А. Математический анализ. — Т. 2. IX, §5.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.