Размерность Крулля

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

Размерность Крулля позволяет сформулировать чисто алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия: размерность аффинного алгебраического многообразия, заданного идеалом [math]\displaystyle{ I }[/math] в кольце многочленов [math]\displaystyle{ R }[/math] — это размерность Крулля факторкольца [math]\displaystyle{ R/I }[/math].

Определение

Длина цепочки простых идеалов вида:

[math]\displaystyle{ \mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n }[/math]

принимается за [math]\displaystyle{ n }[/math], то есть считается число строгих включений, а не число идеалов. Размерность Крулля кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] — это максимум длины по множеству всех цепочек простых идеалов [math]\displaystyle{ R }[/math].

Для простого идеала [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math] можно определить его коразмерность (также называют высотой или рангом), обозначаемую [math]\displaystyle{ \operatorname{codim}(\mathfrak{p}) }[/math], как максимальную длину цепочки простых идеалов вида [math]\displaystyle{ \mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\subseteq \mathfrak{p} }[/math].

Примеры

  • Размерность произвольного поля равна нулю, более общо, размерность кольца многочленов k[x1, …, xn] равна n. Более того, если R — нётерово кольцо, размерность которого равна n, то размерность кольца R[x] равна n+1. Без гипотезы нётеровости размерность R[x] может находиться в пределах от n+1 до 2n+1.
  • Размерность любого кольца главных идеалов равна 1.
  • Целостное кольцо является полем тогда и только тогда, когда его размерность равна нулю. Дедекиндовы кольца, не являющиеся полями, имеют размерность 1.
  • Нётерово кольцо является артиновым тогда и только тогда, когда его размерность равна нулю.
  • Целое расширение кольца имеет ту же размерность, что и исходное кольцо.
  • Размерность Крулля кольца R равна размерности его спектра как топологического пространства, то есть максимальной длине цепочки неприводимых замкнутых подмножеств.

Размерность модуля

Если R — коммутативное кольцо и M — R-модуль, размерность Крулля M определяется как размерность Крулля факторкольца по аннулятору модуля:

[math]\displaystyle{ \operatorname{dim}_R M := \operatorname{dim}( R/\operatorname{Ann}_R(M)) }[/math]

где AnnR(M) — это ядро естественного отображения R → EndR(M) (сопоставляющего элементу кольца умножение на этот элемент).

Высота идеала

Высота простого идеала [math]\displaystyle{ \mathfrak p }[/math] коммутативного кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] — это супремум длин цепочек[⇨] простых идеалов, содержащихся в [math]\displaystyle{ \mathfrak p }[/math]. Например, высота простого идеала, не содержащего других простых идеалов, равна 0. Размерность Крулля кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] можно определить как супремум высоты по множеству простых идеалов.

В случае нётерова коммутативного кольца, согласно теореме Крулля, высота идеала, порождённого n элементами, не превосходит n.

Определение высоты можно распространить на произвольные идеалы, определив высоту идеала как минимум высот простых идеалов, содержащих данный идеал.

См. также

Литература

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, — ISBN 0-226-42454-5. Page 32.
  • Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1